Jak udowodnić arcsin x + arccos x = pi / 2?

Odpowiedź:

jak pokazano

Wyjaśnienie:

Pozwolić

# arcsinx = theta #

następnie

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Odpowiedź:

Stwierdzenie to jest prawdziwe, gdy odwrotne funkcje trig odwołują się do głównych wartości, ale wymaga to staranniejszej uwagi, niż pokazuje inna odpowiedź.

Gdy odwrotne funkcje trig są uważane za wielowartościowe, otrzymujemy na przykład bardziej zniuansowany wynik

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # ale #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Musimy odjąć, aby uzyskać # pi / 2 #.

Wyjaśnienie:

Ten jest trudniejszy niż się wydaje. Druga odpowiedź nie zwraca na to należytego szacunku.

Ogólną konwencją jest użycie małej litery #arccos (x) # i #arcsin (x) # jako wyrażenia wielowartościowe, z których każdy wskazuje wszystkie wartości, których cosinus lub sinus ma określoną wartość # x #.

Znaczenie sumy jest naprawdę każdą możliwą kombinacją, a te nie zawsze dają # pi / 2. # Nawet nie zawsze podadzą jeden z kątów końcowych # p / 2 + 2pi k quad # liczba całkowita # k #, jak pokażemy teraz.

Zobaczmy najpierw, jak działa z wielowartościowymi odwrotnymi funkcjami trig. Pamiętaj ogólnie cos x = cos a # ma rozwiązania # x = pm a + 2pi k quad # liczba całkowita # k #.

# c = arccos x # naprawdę znaczy

#x = cos c #

#s = arcsin x # naprawdę znaczy

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # odgrywa rolę prawdziwego parametru, z którego wychodzi #-1# do #1#. Chcemy rozwiązać dla # y #, znajdź wszystkie możliwe wartości # y # które mają #x, s # i #do# to sprawia, że te jednoczesne równania #x = cos c, x = sin s, y = s + c # prawdziwe.

#sin s = x = cos c #

#cos (p / 2 - s) = cos c #

Używamy powyższego ogólnego rozwiązania dotyczącego równości cosinusów.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # liczba całkowita # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Otrzymujemy więc znacznie bardziej mglisty wynik, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Dopuszczalne jest odwrócenie wpisu # k. #)

Skupmy się teraz na głównych wartościach, które piszę wielkimi literami:

Pokazać #text {Łuk} tekst {sin} (x) + tekst {Łuk} tekst {cos} (x) = pi / 2 #

To stwierdzenie jest rzeczywiście prawdziwe dla głównych wartości zdefiniowanych w zwykły sposób.

Suma jest definiowana tylko (dopóki nie wejdziemy dość głęboko w liczby zespolone) # -1 le x le 1 # ponieważ prawidłowe sinusy i cosinusy są w tym zakresie.

Przyjrzymy się każdej stronie odpowiednika

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) #

Przyjmiemy cosinus obu stron.

#cos (tekst {Łuk} tekst {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - tekst {Łuk} tekst {sin} (x)) = sin (tekst {Łuk} tekst {sin} (x)) = x #

Bez obaw o znaki i główne wartości jesteśmy pewni

#cos (tekst {Łuk} tekst {cos} (x)) = cos (pi / 2 - tekst {Łuk} tekst {sin} (x)) #

Trudna część, która zasługuje na szacunek, to kolejny krok:

#text {Łuk} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Łuk} tekst {sin} (x) quad # NIE WIEM JESZCZE

Musimy ostrożnie stąpać. Weźmy pozytywne i negatywne # x # osobno.

Pierwszy # 0 le x le 1 #. Oznacza to, że główne wartości obu odwrotnych funkcji trig są w pierwszej ćwiartce, pomiędzy #0# i # pi / 2. # Ograniczone do pierwszej ćwiartki, równe cosinusy oznaczają równe kąty, więc wyciągamy wniosek #x ge 0, #

#text {Łuk} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Łuk} tekst {sin} (x) quad #

Teraz # -1 le x <0. # Główna wartość znaku odwrotnego znajduje się w czwartej ćwiartce i dla #x <0 # zazwyczaj określamy główną wartość w zakresie

# - p / 2 le text {Arc} tekst {sin} (x) <0 #

# p / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) le pi #

Główną wartością ujemnego cosinusa odwrotnego jest druga ćwiartka, # p / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

Mamy więc dwa kąty w drugiej ćwiartce, których cosinusy są równe i możemy stwierdzić, że kąty są równe. Dla #x <0 #, #text {Łuk} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Łuk} tekst {sin} (x) quad #

Tak czy inaczej, # text {Arc} text {sin} (x) + tekst {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #