Dlaczego faktoring wielomianów przez grupowanie działa?

Działa dla niektórych wielomianów, ale nie dla innych. Przeważnie działa dla tego wielomianu, ponieważ nauczyciel, autor lub twórca testów wybrał wielomian, który można w ten sposób uwzględnić.

Przykład 1

Czynnik: # 3x ^ 3 + 6x ^ 3-5x-10 #

Zgrupuję dwa pierwsze terminy i wykreślam wspólny czynnik tych dwóch:

# (3x ^ 3 + 6x ^ 2) -5x-10 = 3x ^ 2 (x + 2) -5x-10 #

Teraz wyjmę wszystkie wspólne czynniki w pozostałych dwóch kategoriach. Jeśli dostanę monomalny czas # (x + 2) # wtedy działa faktoring przez grupowanie. Jeśli dostanę coś innego, to nie zadziała.

Wspólny czynnik # (- 5x-10) # jest #-5#. Biorąc ten czynnik z liści # -5 (x + 2) # więc wiemy, że faktoring przez grupowanie będzie działać.

# 3x ^ 3 + 6x ^ 2-5x-10 = (3x ^ 3 + 6x ^ 2) + (- 5x-10) #

# = 3x ^ 2 (x + 2) -5 (x + 2) #.

Teraz mamy dwa terminy ze wspólnym czynnikiem #DO# gdzie # C = (x-2) #. Więc mamy # 3x ^ 2C-5C = (3x-5) C #

To znaczy: mamy # (3x ^ 2-5) (x + 2) #

Zatrzymamy się na tym etapie, jeśli tylko będziemy chcieli użyć współczynników całkowitych (lub racjonalnych).

Przykład 2

Czynnik: # 4x ^ 3-10x ^ 2 + 3x + 15 #

# 4x ^ 3-10x ^ 2 + 3x + 15 = (4x ^ 3-10x ^ 2) + 6x + 15 #

# = 2x ^ 2 (2x-5) + 6x + 15 #

Teraz, jeśli weźmiemy wspólny czynnik # 6x + 15 # i uzyskaj monomalne czasy # (2x-5) #, wtedy możemy zakończyć faktoring przez grupowanie. Jeśli dostaniemy coś innego, faktoring przez grupowanie nie zadziała.

W tym przypadku mamy # 6x + 15 = 3 (2x + 5) #. Prawie !, Ale close nie działa w faktoringu przez grupowanie. Więc nie możemy tego zakończyć grupując.

Przykład 3 Wykonujesz pracę testera.

Chcę problemu, który MOŻE być uwzględniony przez grupowanie.

Zaczynam od # 12x ^ 3-28x ^ 2 # Jeśli więc można to uwzględnić przez grupowanie, reszta musi wyglądać jak co?

To musi być czas monomalny # (3x-7) #.

Więc kończąc z # 6x-14 # będzie działać, lub # 15x-35 #lub mogłem się podchodzić i używać # -9x + 21 #. W rzeczywistości KAŻDĄ liczbę razy # (3x-7) # dodany do tego, co już mam, da mi wielomian, który można uwzględnić przy grupowaniu.

# 12x ^ 3-28x ^ 2 + k3x-k7 # dla każdego # k # można uwzględnić jako:

# 12x ^ 3-28x ^ 2 + 3kx-7k = 4x ^ 2 (3x-7) + k (3x-7) = (4x ^ 2 + k) (3x-7) #

Ostatnia uwaga: # k = -1 # lub # k = -9 # dokonałby dobrych wyborów. Ponieważ wtedy współczynnik fisrt jest różnicą 2 kwadratów i można go uwzględnić.

Szerokość prostokątnego placu zabaw wynosi 2 x 5 stóp, a długość 3 x 9 stóp. Jak napisać wielomian P (x) reprezentujący obwód, a następnie ocenić ten obwód, a następnie ocenić ten wielomian obwodowy, jeśli x wynosi 4 stopy?

Obwód jest dwukrotnością sumy szerokości i długości. P (x) = 2 ((2x-5) + (3x + 9)) = 2 (5x + 4) = 10x + 8 P (4) = 10 (4) + 8 = 48 Sprawdź. x = 4 oznacza szerokość 2 (4) -5 = 3 i długość 3 (4) + 9 = 21, więc obwód 2 (3 + 21) = 48. quad sqrt

Gdy wielomian jest dzielony przez (x + 2), reszta to -19. Kiedy ten sam wielomian jest dzielony przez (x-1), reszta wynosi 2, jak określić resztę, gdy wielomian jest dzielony przez (x + 2) (x-1)?

Wiemy, że f (1) = 2 i f (-2) = - 19 z twierdzenia o pozostałościach Teraz znajdź resztę wielomianu f (x) po podzieleniu przez (x-1) (x + 2) Pozostała część będzie postać Ax + B, ponieważ jest pozostałością po podziale przez kwadrat. Możemy teraz pomnożyć dzielnik razy iloraz Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B Następnie wstawić 1 i -2 dla x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Rozwiązywanie tych dwóch równań, otrzymujemy A = 7 i B = -5 Pozostała = Ax + B = 7x-5

Gdy wielomian p (x) jest dzielony przez (x + 2), iloraz to x ^ 2 + 3x + 2, a reszta to 4. Czym jest wielomian p (x)?

X ^ 3 + 5x ^ 2 + 8x + 6 mamy p (x) = (x ^ 2 + 3x + 2) (x + 2) +2 = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 3x ^ 2 + 6x + 2x + 4 + 2 = x ^ 3 + 5x ^ 2 + 8x + 6