S = (a (r ^ n -1)) / (r-1) Dokonywanie formuły „r” ..?

Odpowiedź:

To na ogół nie jest możliwe …

Wyjaśnienie:

Dany:

#s = (a (r ^ n-1)) / (r-1) #

Idealnie chcielibyśmy uzyskać formułę taką jak:

#r = "niektóre wyrażenia w" s, n, a #

Nie będzie to możliwe dla wszystkich wartości # n #. Na przykład kiedy # n = 1 # mamy:

#s = (a (r ^ kolor (niebieski) (1) -1)) / (r-1) = a #

Następnie # r # może wziąć dowolną wartość oprócz #1#.

Zauważ też, że jeśli # a = 0 # następnie # s = 0 # i znowu # r # może wziąć dowolną wartość oprócz #1#.

Zobaczmy, jak daleko możemy się posunąć w ogóle:

Najpierw pomnóż obie strony danego równania przez # (r-1) # uzyskać:

#s (r-1) = a (r ^ n-1) #

Pomnażając obie strony, staje się to:

# sr-s = ar ^ n-a #

Następnie odejmujemy lewą stronę z obu stron, otrzymujemy:

# 0 = ar ^ n-sr + (s-a) #

Zarozumiały #a! = 0 #, możemy podzielić to przez #za# uzyskać równanie wielomianu monicznego:

# r ^ n-s / a r + (s / a-1) = 0 #

Zauważ, że dla dowolnych wartości #tak jak# i # n # jednym z korzeni tego wielomianu jest # r = 1 #, ale to jest wartość wykluczona.

Spróbujmy wziąć pod uwagę # (r-1) #…

# 0 = r ^ n-s / a r + (s / a-1) #

#color (biały) (0) = r ^ n-1-s / a (r-1) #

#color (biały) (0) = (r-1) (r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a) #

Więc przez podzielenie # (r-1) # dostajemy:

# r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a = 0 #

Rozwiązania tego będą przybierać bardzo różne formy dla różnych wartości # n #. Do czasu #n> = 6 #, nie jest zazwyczaj rozwiązywany przez radykałów.