Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego ma swoje końce w punktach (1,3) i (-4,1). Jaka jest najłatwiejsza metoda na znalezienie współrzędnych trzeciej strony?

Odpowiedź:

# (- 1/2, -1 / 2) lub (-5 / 2,9 / 2) #.

Wyjaśnienie:

Nazwij równoramienny trójkąt w prawo tak jak # DeltaABC #, i pozwól

# AC # być przeciwprostokątna, z # A = A (1,3) i C = (- 4,1) #.

W konsekwencji, # BA = BC #.

Więc jeśli # B = B (x, y) #, a następnie za pomocą formuła odległości,

# BA ^ 2 = BC ^ 2rArr (x-1) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (x + 4) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #.

# rArrx ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-6y + 9 = x ^ 2 + 8x + 16 + y ^ 2-2y + 1 #

# rArr10x + 4y + 7 = 0 …………………………………… …………… <<1>> #.

Także jako #BAbotBC, „nachylenie„ BAxx ”nachylenie„ BC = -1 #.

#:. {(y-3) / (x-1)} {(y-1) / (x + 4)} = - 1 #.

#:. (y ^ 2-4y + 3) + (x ^ 2 + 3x-4) = 0 #.

#:. x ^ 2 + y ^ 2 + 3x-4y-1 = 0 ………………………… << 2 >> #.

# <<1>> rArr y = - (10x + 7) / 4 … << 1 '>> #. Sub.ing in #<<2>>#, dostajemy, # x ^ 2 + (- (10x + 7) / 4) ^ 2 + 3x-4 (- (10x + 7) / 4) -1 = 0 #.

#: 16x ^ 2 + (100x ^ 2 + 140x + 49) + 48x + 160x + 112-16 = 0 #

#:. 116x ^ 2 + 348x + 145 = 0 #.

# "Dzielenie przez" 29, "mamy," 4x ^ 2 + 12x + 5 = 0, lub, #

# 4x ^ 2 + 12x = -5 #, # rArr4x ^ 2 + 12x + 9 = -5 + 9 …… ponieważ, „uzupełnianie kwadratu” #,

#rArr (2x + 3) ^ 2 = 4 = 2 ^ 2:. 2x + 3 = + - 2:. 2x = -3 + -2 #.

#:. x = -1 / 2 lub x = -5 / 2 #.

# << 1 '>> rArr y = -1 / 2, lub, y = 9/2 #.

Stąd pozostały wierzchołek z trójkąt może być

# (- 1/2, -1 / 2) lub (-5 / 2,9 / 2) #.