Jak rozwiązać arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3?

Odpowiedź:

# x = sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

Wyjaśnienie:

#arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3 #

Zacznij od pozwolenia # alpha = arcsin (x) „” # i # "" beta = arcsin (2x) #

#color (czarny) alfa # i #color (czarny) beta # naprawdę reprezentuję kąty.

Abyśmy mieli: # alpha + beta = pi / 3 #

# => sin (alpha) = x #

#cos (alpha) = sqrt (1-sin ^ 2 (alpha)) = sqrt (1-x ^ 2) #

Podobnie, #sin (beta) = 2x #

#cos (beta) = sqrt (1-sin ^ 2 (beta)) = sqrt (1- (2x) ^ 2) = sqrt (1-4x ^ 2) #

#kolor biały)#

Następnie rozważ

# alpha + beta = pi / 3 #

# => cos (alfa + beta) = cos (pi / 3) #

# => cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) = 1/2 #

# => sqrt (1-x ^ 2) * sqrt (1-4x ^ 2) - (x) * (2x) = 1/2 #

# => sqrt (1-4x ^ 2-x ^ 2-4x ^ 4) = 2x ^ 2 + 1/2 #

# => sqrt (1-4x ^ 2-x ^ 2-4x ^ 4) ^ 2 = 2x ^ 2 + 1/2 ^ 2 #

# => 1-5x ^ 2-4x ^ 4 = 4x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1/4 #

# => 8x ^ 4 + 7x ^ 2-3 / 4 = 0 #

# => 32x ^ 4 + 28x ^ 2-3 = 0 #

Teraz zastosuj formułę kwadratową w zmiennej # x ^ 2 #

# => x ^ 2 = (- 28 + -sqrt (784 + 384)) / 64 = (- 28 + -sqrt (1168)) / 64 = (- 28 + -sqrt (16 * 73)) / 64 = (-7 + -sqrt (73)) / 16 #

# => x = + - sqrt ((- 7 + -sqrt (73)) / 16) #

#kolor biały)#

Nieudane sprawy:

#color (czerwony) ((1) „..” ##x = + - sqrt ((- 7-sqrt (73)) / 16) #

ma zostać odrzucony, ponieważ rozwiązanie jest złożony # inZZ #

#color (czerwony) ((2) „..” ## x = -sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

jest odrzucany, ponieważ rozwiązanie jest negatywne. Natomiast # pi / 3 # jest pozytywny.