Udowodnij, że (aVb) ^ n = a ^ n V b ^ n?

Odpowiedź:

(patrz poniżej, aby zobaczyć dowód)

Wyjaśnienie:

Załóżmy, że największy wspólny czynnik #za# i #b# jest # k #

to znaczy # (aVb) = k # używając notacji w tym pytaniu.

To znaczy że

#color (biały) („XXX”) a = k * p #

i

#color (biały) („XXX”) b = k * q #

(dla # k, p, q w NN) #

gdzie

#color (biały) („XXX”) #główne czynniki # p #: # {p_1, p_2, …} #

#color (biały) („XXX”) #i

#color (biały) („XXX”) #główne czynniki # q #: # {q_1, q_2, …} #

#color (biały) („XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX”) #nie mają wspólnych elementów.

Z definicji # k # (powyżej)

mamy # (aVb) ^ n = k ^ n #

Dalej

#color (biały) ("XXX") a ^ n = (k * p) ^ n = k ^ n * p ^ n #

i

#color (biały) ("XXX") b ^ n = (k * q) ^ n = k ^ n * q ^ n #

gdzie # p ^ n # i # q ^ n # nie może mieć wspólnych czynników głównych (od # p # i # q # nie mają wspólnych głównych czynników.

W związku z tym

#color (biały) ("XXX") a ^ nVb ^ n = k ^ n #

…i

# (aVb) ^ n = a ^ nVb ^ n #