Udowodnij, że R ^ n / R ^ m R ^ (n-m) jako grupy, gdzie n, m N, n m?

Odpowiedź:

# „To jest dobre pytanie - odpowiedź jest przydatna”. #

# „Na szczęście dowód jest bardzo prosty. Stworzymy„ #

# "homomorfizm grup dodatków, a następnie zastosuj" #

# „Podstawowe twierdzenie o homomorfizmie”. #

# „Najpierw ostrożność. W ilorazie dowolnych systemów algebraicznych„ #

# "zestaw mianowników jest oczywiście podzbiorem zestawu liczników." #

# „Jednak to, o co prosi się o pokazanie, odnosi się do ilorazu” #

# {RR ^ n} / {RR ^ m}. „Wektory w” RR ^ n mają długość n, „podczas gdy wektory w” RR ^ m mają długość ”m. „Ponieważ są to różne długości,„ #

# „mianownik”, R ^ m, „nie może być podzbiorem licznika”, R ^ n. #

# „Więc musimy poprawić stwierdzenie, które ma być pokazane”. #

# ”(Zauważ, że przypadek, w którym„ n = m ”, w którym długości„ #

# "wektory dwóch zestawów są takie same, nie muszą być" #

# ”obsługiwane oddzielnie; korekta, którą wykonamy, w czym jest„ #

# ”, aby być pokazanym, będzie zawierać tę sprawę automatycznie.)” #

# „Oto jak zrobić poprawione oświadczenie”. #

# "Niech:" quad hat {RR ^ m} = "podzbiór wektorów" RR ^ n zdefiniowany przez: "#

# {RR ^ m}

# {(overbrace {0, …, 0} ^ {n - m}, overbrace {a_ {n - m + 1}, …, a_n} ^ {m}) | a_ {n - m + 1}, …, a_n w RR}. quad (I) #

# "Możemy myśleć o wektorach w" kapelusz {RR ^ m} "jako wektory" RR ^ m #

# "with" (n - m) quad quad 0 "'są wstawione z przodu. Są więc # #

# „zasadniczo ten sam system algebraiczny. Dokładnie, wyraźnie” #

# "have:" quad hat {RR ^ m} ~ ~ ^ ^ m "ćwiczenie, używając mapy:" #

# quad (kapelusz {RR ^ m}, +) rarr (RR ^ m, +); #

# quad quad quad (overbrace {0, …, 0} ^ {n - m}, overbrace {a_ {n - m + 1}, …, a_n} ^ {m }) mapsto (overbrace {a_ {n - m + 1}, …, a_n} ^ {m}). #

# „Z prawidłowym podzbiorem” RR ^ n ”, aby użyć, teraz zdefiniowane, będziemy” #

# "pokaż poprawione oświadczenie:" #

# quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad RR ^ n / hat {RR ^ m} quad ~~ quad RR ^ {n - m}. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad (II) #

# „Pozwólcie, że powtórzę, że praca tutaj jest w rzeczywistości prosta i” #

# "proste. Długie wektory mogą sprawić, że się pojawi" #

# "skomplikowane - nie jest." #

# "Tak więc, od góry do dołu, pokazaliśmy:" #

# quad quad quad quad quad quad pik (vec {a} - vec {b}) = pi (vec {a}) - pi (vec {b}). #

# „Zatem:” quad quad ”jest homorfizmem grup dodatków:” #

# quad quad quad quad quad quad quad quad quad (RR ^ n, +), (RR ^ {n - m}, +). qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad (II) #

# "2) Więc, natychmiast, przez" Podstawowy "#

# quad quad "Twierdzenie o homomorfizmie:" #

# quad quad quad quad quad quad quad RR ^ n / {ker (pi)} quad ~~ quad Im (pi). quad quad quad quad quad quad quad quad quad qad

# "Pokażemy, że:" quad ker (pi) = hat {RR ^ m} quad "i" quad Im (pi) = RR ^ {n - m}; #

# „który zapewni pożądany rezultat”. #

# "a) Niech:" quad quad vec {z} w RR ^ n quad "i" quad vec {z} w ker (pi). #

# quad o. quad vec {z} w RR ^ n quad hArr #

# quad quad quad quad quad "vec {z} = nadpisuje {z_1, o_2, …, z_ {nm}} ^ {n - m}, zastępuje { {nm +1}, …, z_n} ^ {m}), #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad "dla niektórych" quad z_1, z_2, …, o_n w RR. #

# quad o. qquad vec {z} w ker (pi) quad hArr #

# pi ((zastępuje {z_1, z_2, …, z_ {nm}} ^ {n - m}, zastępuje {z_ {nm +1}, …, z_n} ^ {m})) = (zastępuje {0, 0, …, 0} ^ {n - m}). #

# qquad qquad „kontynuowanie i używanie definicji mapy” pi - #

# quad quad quad quad "tj. usuń ostatnie" m "wpisy, mamy:" #

# quad qquad qquad qquad (overbrace {z_1, z_2, …, z_ {n-m}} ^ {n - m}) = zastępuje {0, 0, …, 0} ^ {n - m}). #

# „Stąd mamy:” #

# quad quad quad quad quad quad quad qu_1 = 0, o_2 = 0, …, o_ {n-m} = 0 #

# "Teraz wrzućmy tę informację z powrotem do" vec {z}: "#

# quad quad quad quad quad "vec {z} = nadpisuje {z_1, o_2, …, z_ {nm}} ^ {n - m}, zastępuje { {nm +1}, …, z_n} ^ {m}) #

# quad quad quad quad quad "vec {z} = nadpisuje {0, 0, …, 0} ^ {n - m}, zastępuje {z_ {nm +1}, …, z_n} ^ {m}).

# „Teraz, przywołując definicję zestawu:„ quad hat {RR ^ m}, ”w (I) powyżej,„ #

# "mamy:" #

# quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad vec {z} hat {RR ^ m}. #

# „Stąd od góry do dołu w tej części mamy:” #

# quad quad quad quad quad quad quad vec {z} ker (pi) quad hArr quad vec {z} hat {RR ^ m}. #

# „I tak mamy:” #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad ker (p) = hat {RR ^ m}. #

# „A teraz, gdy znaleźliśmy” Ker (pi), „zastępujemy go z powrotem” #

# „w wyniku podstawowego homomorfizmu” #

# "Twierdzenie, które mieliśmy w (III) tutaj. Otrzymujemy:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quadRR ^ n / hat {RR ^ m} quad ~~ quad Im (pi). qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad (IV) #

# „To jest teraz znacznie bliżej pożądanego rezultatu. Jesteśmy prawie” #

# "zrobione. Teraz znajdziemy" Im (pi). „To będzie łatwe”. #

# "b) Niech:" quad quad vec {t} w RR ^ {n- m}. #

# "I wtedy:" #

# quad vec {t} = (overbrace {t_1, _2, …, t_ {nm}} ^ {n - m}), quad "for some" quad t_1, _2, …, _n w RR. #

# "Teraz pozwól:" quad quad vec {T} w RR ^ n, quad "gdzie zdefiniujemy" vec {T} w następujący sposób: "#

# quad quad quad quad quad vec {T} = odstęp {t_1, _2, …, t_ {nm}} ^ {n - m}, przestrzeń { …, 1} ^ {m}). #

# "Więc mamy:" #

# quad o. quad vec {T} w RR ^ n; #

# quad o. qad qu (vec {T}) = pi ((overbrace {t_1, _2, …, t_ {nm}} ^ {n - m}, over {{,…,}} {m})) #

# quad quad quad quad quad quad quad = pi (({{overbrace {t_1, _2, …, t_ {nm}} ^ {n - m}, {{} 1, …, 1} ^ {"delete"})) #

# quad quad quad quad quad quad quad = przestrzeń {t_1, _2, …, t_ {n-m}} ^ {n - m}) #

# quad quad quad quad quad quad quad {v} {t}, quad quad quad quad "z definicji" vec {t} "powyżej tutaj." #

# „Więc z powyższego mamy:” #

# quad quad quad quad quad quad quad vec {t} = pi (vec {T}) qquad "i" quad vec {T} w RR ^ n. #

# „Tak więc z definicji obrazu mapy:” #

# quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad vec {t} w Im (pi). #

# „Ponieważ” vec {t} „zostało pobrane dowolnie w” R ^ {n- m}, „mamy:” #

# quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad {^ n} m sube Im (pi). #

# „Ale ponieważ” pi „mapuje” na RR ^ {n- m}, „z definicji obrazu” #

# "mapa, mamy:" #

# quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad qu (pi) sube RR ^ {n- m}. #

# „Więc mamy teraz:” #

# quad quad quad quad quad qu (pi) sube RR ^ {n- m} quad "i" quad RR ^ {n- m} sube Im (pi). #

# „Tak:” #

# quad quad quad quad quad quad quad quad quad qu Im (p) = R ^ {n- m}. #

# „Teraz, gdy wiemy” Im (pi), „możemy zastąpić to z powrotem na” #

# „nasz półprodukt i major prowadzą do (IV). Otrzymujemy:„ #

# quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad q ^ n / hat {RR ^ m} quad ~~ quad RR ^ {n- m}. #

# „To jest nasz pożądany wynik !!” qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad kwadrat #