Udowodnij, że liczba sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) nie jest racjonalna dla żadnej liczby naturalnej n większej niż 1?

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie …

Wyjaśnienie:

Przypuszczać:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # jest racjonalny

Wtedy jego kwadrat musi być racjonalny, tj.:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

a więc tak jest:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Możemy wielokrotnie kwadrować i odejmować, aby stwierdzić, że następujące muszą być racjonalne:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Stąd # n = k ^ 2 # dla pewnej dodatniej liczby całkowitej #k> 1 # i:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Zauważ, że:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Stąd # k ^ 2 + k-1 # nie jest też kwadratem liczby całkowitej i #sqrt (k ^ 2 + k-1) # jest irracjonalne, sprzeczne z naszym twierdzeniem, że #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # jest racjonalny.

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Zarozumiały

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # z # p / q # mamy nieredukowalne

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

co jest absurdalne, ponieważ zgodnie z tym wynikiem każdy pierwiastek kwadratowy dodatniej liczby całkowitej jest racjonalny.