Jak zweryfikować następującą tożsamość?

Odpowiedź:

Użyj kilku tożsamości i wiele uproszczeń. Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Kiedy mamy do czynienia z takimi rzeczami # cos3x #, pomaga to uprościć go do funkcji trygonometrycznych jednostki # x #; to znaczy coś takiego # cosx # lub # cos ^ 3x #. Możemy użyć reguły sum dla cosinusa, aby to osiągnąć:

#cos (alfa + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Od tego czasu # cos3x = cos (2x + x) #, mamy:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Teraz możemy zastąpić # cos3x # z powyższym wyrażeniem:

# (cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Możemy podzielić tę większą frakcję na dwie mniejsze frakcje:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Zauważ, jak cosinusy anulują:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) cancel (cosx)) / cancel (cosx) - ((2sinxancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Teraz dodaj # sin ^ 2x-sin ^ 2x # w lewą stronę równania (co jest tym samym, co dodawanie #0#). Uzasadnienie tego stanie się jasne za chwilę:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Zmień układ terminów:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Użyj tożsamości pitagorejskiej # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # i połącz # sin ^ 2x #s w nawiasach:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Widać, że nasza mała sztuczka dodawania # sin ^ 2x-sin ^ 2x # pozwoliło nam użyć tożsamości pitagorejskiej i zebrać # sin ^ 2x # warunki.

I voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

co było do okazania

Czy ktoś może zweryfikować tożsamość wyzwalacza? (Sinx + cosx) ^ 2 / sin ^ 2x-cos ^ 2x = sin ^ 2x-cos ^ 2x / (sinx-cosx) ^ 2

Sprawdza się poniżej: (sinx + cosx) ^ 2 / (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => (anuluj ((sinx + cosx) ) (sinx + cosx)) / (anuluj ((sinx + cosx)) (sinx-cosx)) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => ((sinx + cosx) ( sinx-cosx)) / ((sinx-cosx) (sinx-cosx)) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => kolor (zielony) ((sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2

Jak zweryfikować tożsamość sec ^ 2 (x / 2) = (2sekx + 2) / (secx + 2 + cosx)?

Wymagane do udowodnienia: sec ^ 2 (x / 2) = (2 sekx + 2) / (secx + 2 + cosx) "Strona prawej ręki" = (2 sekx + 2) / (secx + 2 + cosx) Pamiętaj, że secx = 1 / cosx => (2 * 1 / cosx + 2) / (1 / cosx + 2 + cosx) Teraz pomnóż górę i dół przez cosx => (cosx xx (2 * 1 / cosx + 2)) / (cosx xx (1 / cosx + 2 + cosx)) => (2 + 2cosx) / (1 + 2cosx + cos ^ 2x) Factorize the bottom, => (2 (1 + cosx)) / (1 + cosx) ^ 2 = > 2 / (1 + cosx) Przywołaj tożsamość: cos2x = 2 cos ^ 2x-1 => 1 + cos2x = 2 cos ^ 2x Podobnie: 1 + cosx = 2 cos ^ 2 (x / 2) => „Prawa ręka” = 2 / (2 cos ^ 2 (x / 2)) = 1 / cos

Jak zweryfikować sek ^ 2 x / tan x = sec x csc x?

Używając następujących reguł: secx = 1 / cosx cscx = 1 / sinx tanx = sinx / cosx Wymagane do udowodnienia: sec ^ 2x / tanx = secxcscx Zaczynając od lewej strony równania „LHS” = sec ^ 2x / tanx = (secx) ^ 2 / tanx = (1 / cosx) ^ 2 / (sinx / cosx) = 1 / (cosx) ^ 2 ÷ (sinx / cosx) = 1 / (cosx) ^ cancel2 * cancelcosx / sinx = 1 / cosx * 1 / sinx = kolor (niebieski) (secxcscx „QED”