Jaki jest najlepszy sposób na znalezienie sqrt (13) bez użycia kalkulatora?

Odpowiedź:

Sugerowałbym metodę Newtona, chociaż nie jestem gotów twierdzić, że jest to łatwiejsze niż odgadnięcie i sprawdzenie, a następnie dostosować zgadywanie.

Wyjaśnienie:

Metoda Newtona jest iteracyjną metodą aproksymacji. (Działa z powodu rachunku różniczkowego, ale to pytanie jest publikowane w Algebrze, więc zostawmy to w spokoju.)

Zrób pierwsze przybliżenie. W twoim przykładzie powiedzmy # x_1 = 3 #

Następne przybliżenie to: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

Innymi słowy, podziel się #13# według aktualnego przybliżenia i uśrednij to z ostatnim przybliżeniem.

Porozumiewawczy # x_n #, znaleźliśmy #x_ (n + 1) # przez:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

Więc dostajemy: # x_1 = 3 #

Znaleźć # x_2 #:

#13/3 = 4.33#

Średnia naszego obecnego przybliżenia, #3# i iloraz #4.33# jest #3.67#

Więc # x_2 = 3,67 #

Znaleźć # x_3 #:

#13/3.67 = 3.54#

Średnia naszego obecnego przybliżenia, #3.67# i iloraz #3.54# jest #3.61#

Więc # x_3 = 3,61 #

Tak, to było żmudne wykonywanie obliczeń.

Odpowiedź:

Istnieje (być może nie znana) metoda znajdowania pierwiastka kwadratowego z liczby, którą próbowałem przedstawić poniżej.

Wyjaśnienie:

Zacznij tak, jakbyś ustawiał długi podział (ale zwróć uwagę na brak dzielnika). Liczba jest podzielona na bloki po 2 cyfry z tylu parami zer po przecinku, ile chcesz pisać. Punkt dziesiętny powinien być zapisany bezpośrednio nad kropką dziesiętną liczby, dla której próbujesz znaleźć pierwiastek kwadratowy (wydaje się, że straciłem swój pierwiastek).

Wybierz największą cyfrę, której kwadrat nie jest większy niż pierwsza cyfra wartości, z którą pracujesz, i wprowadź je zgodnie z poniższym opisem

Pomnóż liczbę powyżej linii przez liczbę po lewej stronie linii pionowej i odejmij ten produkt od wartości powyżej.

Skopiuj następną parę cyfr jako przyrostek do poprzedniej reszty.

Podwoj wartość powyżej linii i dopuść cyfrę przyrostkową (w tym przypadku 3 staje się czymś między 60 a 69; jeszcze nie ustalono).

Określ największą cyfrę, która po zastosowaniu jako cyfra przyrostkowa po lewej stronie, a następnie użyta do pomnożenia wartości wynikowej, nie jest większa niż wartość robocza (w tym przypadku nie większa niż 400).

Pomnóż, odejmij, obniż parę kolejnych cyfr.

Podwoj wartość od góry i zapisz spacją dla cyfry przyrostka po lewej stronie obszaru roboczego.

Kontynuuj proces, jak wskazano poniżej:

Proszę; jeśli ktoś może udzielić prostszego wyjaśnienia, jak pracować z tym procesem, zrób to.

Odpowiedź:

Zamiast pisać długi komentarz do Jima, oto „inna” odpowiedź.

Znaleźć #sqrt (n) #, iteruj przybliżenia za pomocą:

#a_ (i + 1) = a_i + (n - a_i ^ 2) / (2a_i) #

Wyjaśnienie:

Zwykle używam tego z „niewłaściwymi” ułamkami, aby uzyskać sekwencję przybliżeń, zatrzymując się, gdy myślę, że mam wystarczającą liczbę cyfr znaczących, a następnie długo dzieląc wynikowe liczby całkowite.

Alternatywnie, jeśli chcę tylko pierwiastek kwadratowy do 4 znaczących cyfr, zaczynam od rozsądnego dwucyfrowego przybliżenia i wykonuję jeden lub dwa kroki.

Próbuję zapamiętać kwadraty #2# cyfry też. Tak w przypadku #13# Powinienem o tym pamiętać #36^2 = 1296# jest raczej blisko #1300#, więc #36# robi dobre przybliżenie #sqrt (1300) #.

Nastąpiłoby kolejne przybliżenie #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

Stąd #sqrt (13) ~ = 3,6056 #