Dwa rogi trójkąta równoramiennego znajdują się w (1, 7) i (5, 3). Jeśli pole trójkąta wynosi 6, jakie są długości boków trójkąta?

Niech współrzędne trzeciego rogu trójkąta równoramiennego będą # (x, y) #. Ten punkt jest w równej odległości od innych dwóch rogów.

Więc

# (x-1) ^ 2 + (y-7) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-14y + 49 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 #

# => 8x-8y = -16 #

# => x-y = -2 #

# => y = x + 2 #

Teraz prostopadła z # (x, y) # na odcinku linii łączącym dwa podane rogi trójkąta będą przecinać bok, a współrzędne tego punktu środkowego będą #(3,5)#.

Więc wysokość trójkąta

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2) #

I podstawa trójkąta

# B = sqrt ((1-5) ^ 2 + (7-3) ^ 2) = 4sqrt2 #

Obszar trójkąta

# 1 / 2xxBxxH = 6 #

# => H = 12 / B = 12 / (4sqrt2) #

# => H ^ 2 = 9/2 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 9/2 #

# => (x-3) ^ 2 + (x + 2-5) ^ 2 = 9/2 #

# => 2 (x-3) ^ 2 = 9/2 #

# => (x-3) ^ 2 = 9/4 #

# => x = 3/2 + 3 = 9/2 = 4,5 #

Więc # y = x + 2 = 4,5 + 2 = 6,5 #

Stąd długość każdego równego boku

# = sqrt ((5-4,5) ^ 2 + (3-6,5) ^ 2) #

# = sqrt (0,25 + 12,25) = sqrt12.5 = 2.5sqrt2 #

Stąd długości trzech stron # 2.5sqrt2,2.5sqrt2,4sqrt2 #