Promienie dwóch koncentrycznych okręgów wynoszą 16 cm i 10 cm. AB jest średnicą większego okręgu. BD jest styczna do mniejszego okręgu dotykającego go w D. Jaka jest długość AD?

Odpowiedź:

#bar (AD) = 23,5797 #

Wyjaśnienie:

Przyjęcie pochodzenia #(0,0)# jako wspólne centrum dla # C_i # i # C_e # i wołanie # r_i = 10 # i # r_e = 16 # punkt styczności # p_0 = (x_0, y_0) # jest na skrzyżowaniu #C_i nn C_0 # gdzie

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

tutaj # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Rozwiązanie dla #C_i nn C_0 # mamy

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Odejmowanie pierwszego z drugiego równania

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # więc

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # i # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Wreszcie poszukiwany dystans to

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

lub

#bar (AD) = 23,5797 #

Wyjaśnienie:

Jeśli #bar (BD) # jest styczna do # C_i # następnie #hat (ODB) = pi / 2 # więc możemy zastosować pythagory:

#bar (OD) ^ 2 + słupek (DB) ^ 2 = słupek (OB) ^ 2 # określanie # r_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Punkt #RE# współrzędne, zwane # (x_0, y_0) # należy uzyskać przed obliczeniem poszukiwanej odległości #bar (AD) #

Jest na to wiele sposobów. Alternatywna metoda to

# y_0 = bar (BD) grzech (kapelusz (OBD)) # ale #sin (kapelusz (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

następnie

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # i

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Jak na dane, powyższy rysunek jest narysowany.

O jest wspólnym centrum dwóch koncentrycznych okręgów

#AB -> „średnica większego okręgu” #

# AO = OB -> „promień większego okręgu” = 16 cm #

#DO -> „promień mniejszego okręgu” = 10 cm #

#BD -> "styczna do mniejszego okręgu" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Pozwolić # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

W #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Zastosowanie prawa cosinusowego w #Delta ADO # dostajemy

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58 cm #