Rachunek Różniczkowy

Dy / dx = (ycos (xy)) / (1-xcos (xy)) Używając niejawnego różnicowania, reguły produktu i reguły łańcucha, otrzymujemy d / dxy = d / dxsin (xy) => dy / dx = cos (xy) (d / dx (xy)) = cos (xy) [x (d / dxy) + y (d / dxx)] = cos (xy) (xdy / dx + y) = xcos (xy) dy / dx + ycos (xy) => dy / dx - xcos (xy) dy / dx = ycos (xy) => dy / dx (1-xcos (xy)) = ycos (xy):. dy / dx = (ycos (xy)) / (1-xcos (xy)) Czytaj więcej »

Daje nam równanie pędu względem prędkości ... Funkcja lub równanie dla energii kinetycznej to: bb (KE) = 1 / 2mv ^ 2 Biorąc pochodną względem prędkości (v) otrzymujemy: d / (dv) (1 / 2mv ^ 2) Weź stałe do uzyskania: = 1 / 2m * d / (dv) (v ^ 2) Teraz użyj reguły mocy, która stwierdza, że d / dx (x ^ n) = nx ^ (n- 1) aby uzyskać: = 1 / 2m * 2v Upraszczaj, aby uzyskać: = mv Jeśli nauczysz się fizyki, powinieneś wyraźnie zobaczyć, że jest to równanie na pęd i stwierdza, że: p = mv Czytaj więcej »

(dv) / dt = (2pirh) / 3 ((dr) / dt) + (pir ^ 2) / 3 ((dh) / dt) jeśli robisz powiązane stawki, prawdopodobnie rozróżniasz t lub czas: d / dt (v) = d / dt (pi / 3r ^ 2h) (dv) / dt = pi / 3d / dt (r ^ 2h) (dv) / dt = pi / 3 (d / dt ( r ^ 2) h + d / dt (h) r ^ 2) (dv) / dt = pi / 3 (2rd / dt (r) h + (dh) / dtr ^ 2) (dv) / dt = pi / 3 (2r ((dr) / dt) h + ((dh) / dt) r ^ 2) (dv) / dt = (2pirh) / 3 ((dr) / dt) + (pir ^ 2) / 3 ((dh) ) / dt) Czytaj więcej »

Cóż, kiedy myślę o pochodnych w odniesieniu do czasu, myślę o czymś zmieniającym się i kiedy chodzi o napięcie myślę o kondensatorach. Kondensator to urządzenie, które może przechowywać ładunek Q po przyłożeniu napięcia V. To urządzenie ma cechy charakterystyczne (fizyczne, geometryczne) opisane przez stałą zwaną pojemnością C. Związek między tymi wielkościami jest następujący: Q (t) = C * V (t) Jeśli wyprowadzisz w odniesieniu do czasu, otrzymasz prąd przez kondensator dla zmienne napięcie: d / dtQ (t) = Cd / dtV (t) Gdzie pochodna Q (t) jest prądem, tj .: i (t) = Cd / dtV (t) To równanie mówi ci, że n Czytaj więcej »

Dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-lnx) / x ^ 2) W tych sytuacjach, gdy funkcja jest podniesiona do potęgi funkcji, użyjemy logarytmicznego zróżnicowania i ukrytego różnicowania w następujący sposób: y = x ^ (1 / x) lny = ln (x ^ (1 / x)) Z faktu, że ln (a ^ b) = blna: lny = lnx / x Rozróżnij (lewa strona będzie zróżnicowana domyślnie): 1 / y * dy / dx = (1-lnx) / x ^ 2 Rozwiąż dla dy / dx: dy / dx = y ((1-lnx) / x ^ 2) Przypominając, że y = x ^ (1 / x): dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-lnx) / x ^ 2) Czytaj więcej »

Odniesienie do obrazu ... Mam nadzieję, że to pomoże .... Czytaj więcej »

Dy / dx = -1/2 at (x, y) = (8, 1) Po pierwsze, znajdźmy dy / dx używając niejawnego różnicowania: d / dx (x ^ (2/3) + y ^ (2/3) ) = d / dx5 => 2 / 3x ^ (- 1/3) + 2 / 3y ^ (- 1/3) dy / dx = 0 => 2 / 3y ^ (- 1/3) dy / dx = - 2 / 3x ^ (- 1/3) => dy / dx = - (x / y) ^ (- 1/3) Teraz oceniamy dy / dx w naszym punkcie (x, y) = (8, 1) dy / dx | _ ((x, y) = (8,1)) = - (8/1) ^ (- 1/3) = -8 ^ (- 1/3) = -1 / 2 Czytaj więcej »

1/2 (x / 2) '= 1/2 (x)' = 1/2 * 1 = 1/2 Czytaj więcej »

Y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x Możesz rozróżnić tę funkcję, używając reguł sumy i mocy. Zauważ, że możesz przepisać tę funkcję jako y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = [x (x + 1)] ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 Teraz reguła sumy mówi, że dla funkcji przyjmujących postać y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) ty może znaleźć pochodną y dodając pochodne tych poszczególnych funkcji. kolor (niebieski) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + ... W twoim przypadku masz y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) y ^ Czytaj więcej »

Y = x ^ (e), więc y '= e * x ^ (e-1) Ponieważ e jest tylko stałą, możemy zastosować regułę mocy dla pochodnych, która mówi nam, że d / dx [x ^ n] = n * x ^ (n-1), gdzie n jest stałą. W tym przypadku mamy y = x ^ (e), więc y '= e * x ^ (e-1) Czytaj więcej »

Dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) Mamy: y = x ^ x Weźmy naturalny dziennik po obu stronach. ln (y) = ln (x ^ x) Używając faktu, że log_a (b ^ c) = clog_a (b), => ln (y) = xln (x) Zastosuj d / dx po obu stronach. => d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) Reguła łańcucha: Jeśli f (x) = g (h (x)), to f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) Reguła mocy: d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1), jeśli n jest stałą. Ponadto d / dx (lnx) = 1 / x Wreszcie reguła produktu: Jeśli f (x) = g (x) * h (x), to f '(x) = g' (x) * h (x ) + g (x) * h '(x) Mamy: => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) => dy / dx * 1 / Czytaj więcej »

Dla funkcji f (x) = x ^ n, n nie powinno być równe 0, z powodów, które staną się jasne. n powinno być także liczbą całkowitą lub wymierną (tj. ułamkiem). Zasada jest następująca: f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) Innymi słowy, „pożyczamy” moc x i czynimy ją współczynnikiem pochodnej, a następnie odjąć 1 od mocy. f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 f (x) = x ^ 7 => f' (x) = 7x ^ 6 f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) Jak już wspomniałem, przypadek specjalny to gdzie n = 0. Oznacza to, że f (x) = x ^ 0 = 1 Możemy użyć naszej reguły i uzyskać technicznie prawidłową od Czytaj więcej »

F '(x) = 2x / x ^ (1/2) X ^ (1/2) 1 + x ^ (- 1/2) x X / x ^ (1/2) + x / x ^ (1 / 2) 2x / x ^ (1/2) Czytaj więcej »

Możemy rozwiązać ten problem w kilku krokach przy użyciu niejawnego różnicowania. Krok 1) Weź pochodną obu stron względem x. (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) = (Delta) / (Deltax) (x) Krok 2) Aby znaleźć (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) musimy użyć reguły łańcucha, ponieważ zmienne są różne. Reguła łańcucha: (Delta) / (Deltax) (u ^ n) = (n * u ^ (n-1)) * (u ') Podłączanie naszego problemu: (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) = (2 * y) * (Deltay) / (Deltax) Krok 3) Znajdź (Delta) / (Deltax) (x) z prostą regułą mocy, ponieważ zmienne są takie same. Reguła mocy: (Delta) / (Deltax) (x ^ n) = (n * x ^ (n-1)) Podłączanie naszego problem Czytaj więcej »

Dy / dx = x + x ^ -3> "rozróżniaj za pomocą" koloru (niebieskiego) "reguły mocy" • koloru (białego) (x) d / dx (osi ^ n) = nax ^ (n-1) y = 1 / 2x ^ 2-1 / 2x ^ -2 rArrdy / dx = (2xx1 / 2) x ^ (2-1) - (- 2xx1 / 2) x ^ (- 2-1) kolor (biały) (rArrdy / dx) = x + x ^ -3 Czytaj więcej »

Y = 3sin (x) sin (3x) y '= 3cosx [cos (3x) * 3] kolor (biały) (ttttt [”zastosowanie reguły łańcucha do„ sin (3x)] y' = 3 (cosx cos3x ) Czytaj więcej »

Pochodna jest 4x. W tym celu możemy użyć reguły mocy: fr d dx ax ^ n = nax ^ (n-1). Tak więc, jeśli mamy y = 2x ^ 2 -5, jedynym terminem, który dotyczy x, jest 2x ^ 2, więc jest to jedyny termin, który musimy znaleźć pochodną. (Pochodna stałej, takiej jak -5, zawsze będzie równa 0, więc nie musimy się o to martwić, ponieważ dodanie lub odjęcie 0 nie zmieni naszej ogólnej pochodnej.) Zgodnie z zasadą mocy, fr d dx 2x ^ 2 = 2 (2) x ^ (2-1) = 4x. Czytaj więcej »

Y '= 8 sek ^ 2 (x) tan (x) Objaśnienie: zacznijmy od funkcji ogólnej, y = (f (x)) ^ 2 rozróżniając względem x stosując regułę łańcuchową, y' = 2 * f (x) * f '(x) Podobnie jak w przypadku danego problemu, daje y = 4 * s ^ 2 (x) y' = 4 * 2 * s (x) * s (x) tan (x) y '= 8 s ^ 2 (x ) tan (x) Czytaj więcej »

Odpowiedź: y '= sec (x) Pełne wyjaśnienie: Załóżmy, y = ln (f (x)) Używanie reguły łańcuchowej, y' = 1 / f (x) * f '(x) Podobnie, jeśli śledzimy problem , a następnie y '= 1 / (sec (x) + tan (x)) * (sec (x) + tan (x))' y '= 1 / (sec (x) + tan (x)) * (s (x) tan (x) + sec ^ 2 (x)) y '= 1 / (sec (x) + tan (x)) * sec (x) (sec (x) + tan (x)) y' = sec (x) Czytaj więcej »

Pochodna y = sec ^ 2x + tan ^ 2x to: 4sec ^ 2xtanx Proces: Ponieważ pochodna sumy jest równa sumie pochodnych, możemy po prostu wyprowadzić sec ^ 2x i tan ^ 2x oddzielnie i dodać je razem . Dla pochodnej sec ^ 2x musimy zastosować regułę łańcuchową: F (x) = f (g (x)) F '(x) = f' (g (x)) g '(x), z zewnętrzną funkcja jest x ^ 2, a wewnętrzną funkcją jest secx. Teraz znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej, zachowując tę samą funkcję wewnętrzną, a następnie mnożąc ją przez pochodną funkcji wewnętrznej. Daje nam to: f (x) = x ^ 2 f '(x) = 2x g (x) = secx g' (x) = secxtanx Podłączając je do naszej form Czytaj więcej »

Zgodnie z Regułą Produktu możemy znaleźć y '= secx (1 + 2tan ^ 2x). Spójrzmy na niektóre szczegóły. y = secxtanx Według reguły produktu, y '= secxtanx cdot tanx + secx cdot sec ^ 2x przez faktorowanie sek x, = secx (tan ^ 2x + sec ^ 2x) przez sec ^ 2x = 1 + tan ^ 2x, = secx ( 1 + 2tan ^ 2x) Czytaj więcej »

Pochodna tanx to sec ^ 2x. Aby zobaczyć dlaczego, musisz znać kilka wyników. Po pierwsze, musisz wiedzieć, że pochodną sinx jest cosx. Oto dowód na to, wynikający z pierwszych zasad: Kiedy już to wiesz, oznacza to również, że pochodną cosx jest -sinx (której będziesz potrzebował później). Musisz wiedzieć jeszcze jedną rzecz, która jest Regułą Iloczynu dla różnicowania: Gdy wszystkie te części są na miejscu, różnicowanie przebiega następująco: d / dx tanx = d / dx sinx / cosx = (cosx. Cosx-sinx. ( -sinx)) / (cos ^ 2x) (używając reguły ilorazu) = (cos ^ 2x + sin ^ 2x) / (cos ^ 2x) = 1 Czytaj więcej »

D / dx (x ^ 2 5x + 10) = 2x-5 Reguła mocy daje pochodną wyrażenia postaci x ^ n. d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} Będziemy również potrzebować liniowości pochodnej d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * d / dx ( f (x)) + b * d / dx (g (x)) i że pochodna stałej wynosi zero. Mamy f (x) = x ^ 2 5x + 10 d / dxf (x) = d / dx (x ^ 2 5x + 10) = d / dx (x ^ 2) 5d / dx (x) + d / dx (10) = 2 * x ^ 1-5 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x-5 Czytaj więcej »

Nie ma różnic, te dwa słowa są synonimami. Czytaj więcej »

Całki nieokreślone nie mają dolnej / górnej granicy integracji. Są to ogólne środki przeciwdziałające, więc dają funkcje. int f (x) dx = F (x) + C, gdzie F '(x) = f (x) i C jest dowolną stałą. Całki oznaczone mają dolne i górne granice integracji (aib). Dają wartości. int_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a), gdzie F '(x) = f (x). Mam nadzieję, że to było pomocne. Czytaj więcej »

Prędkość jest wektorem, a prędkość jest wielkością. Przypomnij sobie, że wektor ma kierunek i wielkość. Prędkość jest po prostu wielkością. Kierunek może być tak prosty, jak pozytywny i negatywny. Wielkość jest zawsze pozytywna. W przypadku kierunku dodatniego / ujemnego (1D) możemy użyć wartości bezwzględnej, | v |. Jeśli jednak wektor jest 2D, 3D lub wyższy, musisz użyć normy Euklidesowej: || v ||. W przypadku 2D jest to || v || = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) I jak można się domyślić, 3D to: || v || = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2) Czytaj więcej »

Twierdzenie o wartości pośredniej (IVT) mówi, że funkcje ciągłe w przedziale [a, b] przyjmują wszystkie (pośrednie) wartości między ich skrajnościami. Twierdzenie o ekstremalnej wartości (EVT) mówi, że funkcje ciągłe na [a, b] osiągają swoje ekstremalne wartości (wysokie i niskie). Oto stwierdzenie EVT: Niech f będzie ciągłe na [a, b]. Następnie istnieją liczby c, d w [a, b] takie, że f (c) q f (x) q f f (d) dla wszystkich x w [a, b]. Mówiąc inaczej, „supremum” M i „infimum” m zakresu {f (x): x w [a, b]} istnieją (są skończone) i istnieją liczby c, d t [a, b] tak, że f (c) = m if (d) = M. Zauważ, że funkcj Czytaj więcej »

Jeśli próbujesz określić zbieżność sumy {a_n}, możesz porównać ją z sumą b_n, której zbieżność jest znana. Jeśli 0 leq a_n leq b_n i suma b_n zbiegają się, to suma a_n również się zbiega. Jeśli a_n geq b_n geq 0 i suma b_n rozchodzą się, to suma a_n również się rozbiega. Ten test jest bardzo intuicyjny, ponieważ wszystko, co mówi, jest taki, że jeśli większa seria się pogłębia, to mniejsze szeregi również się zbiegają, a jeśli mniejsze szeregi rozbieżą się, wtedy większa seria rozbiega się. Czytaj więcej »

Int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 = 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 = int ("d" x) / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) Zróbmy teraz frakcje częściowe. Załóżmy, że 1 / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) = A / (x + 1) + B / (x + 1) ^ 2 + C / (x-1) + D / ( x-1) ^ 2 dla niektórych stałych A, B, C, D. Następnie 1 = A (x + 1) (x-1) ^ 2 + B (x-1) ^ 2 + C (x + 1) ^ 2 (x-1) + D (x + 1) ^ 2 Rozwiń aby uzyskać 1 = (A + C) x ^ 3 + (B + C + DA) x ^ 2 + (2D-2B-AC) x + A + B-C + D. Współczynniki równania: {(A + C = 0), (B + C + DA = 0), (2D-2B-AC = 0), (A + B-C + D Czytaj więcej »

3 "Chwilowa szybkość zmiany f (x) przy x =„ średnia ”pochodna f (x) przy x = a. Pochodna w punkcie reprezentuje szybkość zmiany funkcji w tym punkcie lub chwilową szybkość zmiany , często reprezentowany przez linię styczną o nachyleniu f '(a). f (x) = 3x + 5 f' (x) = 3, pochodna stałej wynosi zero, co oznacza, że pięć nie odgrywa tutaj żadnej roli. przy x = 1 lub przy dowolnym x w rzeczywistości szybkość zmian wynosi 3. Czytaj więcej »

F '(x) = 2xe ^ (x ^ 2) Mamy regułę łańcucha, którą mamy zewnętrzną funkcję f (u) = e ^ u, a wewnętrzną funkcję u = x ^ 2 Reguła łańcuchowa polega na wyprowadzeniu obu funkcji, a następnie pomnożeniu pochodne tak f '(u) * u' f '(u) = e ^ u u' = 2x Wzajemne pochodne 2xe ^ u = 2xe ^ (x ^ 2) = f '(x) Czytaj więcej »

Bez zmian f '' '' (x) = - 5e ^ x Po prostu wyprowadź to 4 razy Reguła wyprowadzania e ^ xf (x) = e ^ x rArre ^ xf (x) = - 5e ^ x f '(x) = -5e ^ x f '' (x) = - 5e ^ x f '' '(x) = - 5e ^ x f' '' '(x) = - 5e ^ x Czytaj więcej »

Ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3. Ogólną formą ekspansji Taylora skoncentrowanej na a funkcji analitycznej f jest f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (X-a) ^ n. Tutaj f ^ ((n)) jest n-tą pochodną f. Wielomian Taylora trzeciego stopnia jest wielomianem składającym się z pierwszych czterech (n w zakresie od 0 do 3) terminów pełnej ekspansji Taylora. Dlatego ten wielomian wynosi f (a) + f '(a) (xa) + (f' '(a)) / 2 (xa) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (xa) ^ 3 . f (x) = ln (x), dlatego f '(x) = 1 / x, f' '(x) = - 1 / x ^ 2, f' '' (x) = 2 / x ^ 3. Zatem Czytaj więcej »

Odpowiedź: Domena xw [-6 / 5, oo) Zakres [0, oo) Musisz pamiętać, że dla domeny: sqrt (y) -> y> = 0 ln (y) -> y> 0 1 / y-> y! = 0 Po tym będziesz prowadził do nierówności, dając ci domenę. Ta funkcja jest kombinacją funkcji liniowych i kwadratowych. Linear ma domenę RR. Funkcja kwadratowa musi jednak mieć dodatnią liczbę wewnątrz kwadratu. Dlatego: (5x + 6) / 2> = 0 Ponieważ 2 jest dodatnie: 5x + 6> = 0 5x> = -6 Ponieważ 5 jest dodatnie: x> = -6/5 Domeną funkcji jest: x w [ -6 / 5, oo) Zakres funkcji root (funkcja zewnętrzna) to [0, oo) (część nieskończona może być udowodniona przez limit ja Czytaj więcej »

F '(x) = (ye ^ y) / ((yx) ^ 2 + ye ^ y-xe ^ y + xe ^ y) Najpierw musimy się zaznajomić z niektórymi regułami obliczeń f (x) = 2x + 4 we może rozróżniać 2x i 4 oddzielnie f '(x) = dy / dx2x + dy / dx4 = 2 + 0 = 2 Podobnie możemy odróżnić 4, y i - (xe ^ y) / (yx) oddzielnie dy / dx4 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Wiemy, że stałe różnicujące dy / dx4 = 0 0 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Podobnie jest z zasadą różnicowania y dy / dxy = dy / dx 0 = dy / dx-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Na koniec, aby rozróżnić (xe ^ y) / (yx) musimy użyć reguły ilorazu Niech xe ^ y = u i Niech yx = v Regu Czytaj więcej »

Dy / dx = (ye ^ (xy) y ^ 3) / (x-xe ^ (xy) y ^ 2) 1 = x / ye ^ (xy) Najpierw musimy wiedzieć, że możemy odróżnić każdą część osobno. = 2x + 3 możemy rozróżnić 2x i 3 osobno dy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0 Więc podobnie możemy odróżnić 1, x / y i e ^ (xy) oddzielnie dy / dx1 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) Reguła 1: dy / dxC rArr 0 pochodna stałej wynosi 0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) dy / dxx / y musimy rozróżnij to używając reguły ilorazu Reguła 2: dy / dxu / v rArr ((du) / dxv- (dv) / dxu) / v ^ 2 lub (vu'-uv ”) / v ^ 2 u = x rArr u ' = 1 Reguła 2: y ^ n rArr (ny ^ (n-1) Czytaj więcej »

F '(x) = (4e ^ (2x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2sin ((1-e ^ (2x)) / (1 + e ^ (2x))) Mamy do czynienia z reguła ilorazu wewnątrz reguły łańcuchowej Reguła łańcuchowa dla cosinus cos (s) rArr s '* - sin (s) Teraz musimy wykonać regułę ilorazu s = (1-e ^ (2x)) / (1 + e ^ ( 2x)) dy / dxu / v = (u'v-v'u) / v ^ 2 Reguła wyprowadzania e reguły: e ^ u rArr u'e ^ u Wyprowadź zarówno górną, jak i dolną funkcję 1-e ^ (2x ) rArr 0-2e ^ (2x) 1 + e ^ (2x) rArr 0 + 2e ^ (2x) Umieść go w regule ilorazu s '= (u'v-v'u) / v ^ 2 = (- 2e ^ (2x) (1 + e ^ (2x)) - 2e ^ (2x) (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 Po Czytaj więcej »

A = 2sqrt2 Wzór na parametryczną długość łuku to: A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt Zaczynamy od znalezienia dwóch pochodnych: dx / dt = 1 i dy / dt = 1 Daje to, że długość łuku wynosi: A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 W rzeczywistości Ponieważ funkcja parametryczna jest tak prosta (jest to linia prosta), nie potrzebujemy nawet wzoru całkowego. Jeśli wykreślimy funkcję na wykresie, możemy użyć zwykłego wzoru odległości: A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt ( 4 * 2) = 2sqrt2 Daje nam taki sam wy Czytaj więcej »

Całka się rozbiega. Możemy użyć testu porównawczego dla całek niewłaściwych, ale w tym przypadku całka jest tak prosta do oceny, że możemy ją po prostu obliczyć i sprawdzić, czy wartość jest ograniczona. int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) ( 2sqrtx) = oo Oznacza to, że całka rozbiega się. Czytaj więcej »

=> (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c Kontynuacja ... Niech 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 => sqrt ( 3) / 2 u = x-1/2 => sqrt (3) / 2 du = dx => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du Używanie funkcji pierwotnej, co powinno być przypisane do pamięci ... => ( 2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c => u = (2x-1) / sqrt3 => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c Czytaj więcej »

F (x) jest wklęsły przy x = -3 uwaga: wklęsły w górę = wypukły, wklęsły w dół = wklęsły Najpierw musimy znaleźć przedziały, w których funkcja jest wklęsła i wklęsła. Robimy to przez znalezienie drugiej pochodnej i ustawienie jej na zero, aby znaleźć wartości x f (x) = (x-9) ^ 3 - x + 15 d / dx = 3 (x-9) ^ 2 - 1 d ^ 2 / dx ^ 2 = 6 (x-9) 0 = 6x - 54 x = 9 Teraz testujemy x wartości w drugiej pochodnej po obu stronach tej liczby dla przedziałów dodatnich i ujemnych. dodatnie interwały odpowiadają wklęsłości, a ujemne interwały odpowiadają wklęsłości, gdy x <9: ujemne (wklęsłe), gdy x> 9: dodatnie (wk Czytaj więcej »

Int ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Najpierw możemy użyć tożsamości: 2sinthetacostheta = sin2x, która daje: int ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Teraz możemy użyć integracji według części. Wzór to: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx Pozwolę, że f (x) = grzech ( 2x) i g '(x) = e ^ x / 2. Stosując formułę otrzymujemy: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Teraz możemy ponownie zastosować integrację przez części , tym razem z f (x) = cos (2x) i g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos ( 2 Czytaj więcej »

Ogólne rozwiązanie to: y = 1-1 / (e ^ t + C) Mamy: dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 Możemy zbierać terminy dla podobnych zmiennych: 1 / (y-1) ^ 2 d / dt = e ^ t Które jest oddzielnym pierwszym rzędem Zwyczajne nieliniowe równanie różniczkowe, więc możemy „oddzielić zmienne”, aby uzyskać: int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t Obydwie całki są całkami funkcji standardowych, więc możemy użyć tej wiedzy do bezpośredniej integracji: -1 / (y-1) = e ^ t + C I możemy łatwo zmienić kolejność na y: - (y-1) = 1 / (e ^ t + C):. 1-y = 1 / (e ^ t + C) prowadzące do ogólnego rozwiązania: y = 1-1 / (e ^ t + C) Czytaj więcej »

-2sin (2t) / (cos (2t) ^ 2 + 1) Pochodna tan ^ -1 (x) wynosi 1 / (x ^ 2 + 1), gdy zastępujemy cos (2t) dla x, otrzymujemy 1 / ( cos (2t) ^ 2 + 1) Następnie stosujemy regułę łańcucha dla cos (2t) 1 / (cos (2t) ^ 2 + 1) * -2sin (2t) Nasza ostateczna odpowiedź to -2sin (2t) / (cos (2t) ^ 2 + 1) Czytaj więcej »

Zbiega się w teście porównania bezpośredniego. Możemy użyć testu porównania bezpośredniego, o ile mamy sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2), IE, seria zaczyna się od jednego. Aby użyć testu porównania bezpośredniego, musimy udowodnić, że a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) jest dodatni w [1, oo). Po pierwsze, zauważ, że w przedziale [1, oo), cos (1 / k) jest dodatni. Dla wartości x = 1, 1 / kCzytaj więcej »

D / (dx) ln (e ^ (4x) + 3x) = (4e ^ (4x) +3) / (e ^ (4x) + 3x) Pochodna lnx wynosi 1 / x Więc pochodna ln (e ^ ( 4x) + 3x) to 1 / (e ^ (4x) + 3x) d / dx (e ^ (4x) + 3x) (reguła łańcucha) Pochodna e ^ (4x) + 3x to 4e ^ (4x) +3 Tak więc pochodna ln (e ^ (4x) + 3x) wynosi 1 / (e ^ (4x) + 3x) * (4e ^ (4x) +3) = (4e ^ (4x) +3) / (e ^ ( 4x) + 3x) Czytaj więcej »

W ten sposób: Funkcja anty-pochodna lub prymitywna jest uzyskiwana przez integrację funkcji. Zasadą tutaj jest, jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie pierwotnej / całkowej funkcji wielomianowej: weź funkcję i zwiększ wszystkie indeksy x o 1, a następnie podziel każdy człon przez nowy indeks x. Lub matematycznie: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Dodajesz także stałą do funkcji, chociaż stała będzie arbitralna w tym problemie. Teraz, używając naszej reguły, możemy znaleźć funkcję prymitywną, F (x). F (x) = ((8x ^ (3 + 1)) / (3 + 1)) + ((5x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) + ((- 9x ^ (1 + 1) )) / (1 + 1)) + ((3x ^ (0 + 1 Czytaj więcej »

Nie. Po pierwsze, obserwuj funkcję f (x) = -2 ^ x. Wyraźnie ta funkcja maleje i jest ujemna (tj. Poniżej osi x) nad jej domeną. Jednocześnie rozważ funkcję h (x) = 1-x ^ 2 w przedziale 0 <= x <= 1. Ta funkcja zmniejsza się we wspomnianym przedziale czasu. Nie jest to jednak negatywne. Dlatego funkcja nie musi być ujemna w okresie, w którym maleje. Czytaj więcej »

Y = 1 / 108x-3135/56 Normalna linia do stycznej jest prostopadła do stycznej. Możemy znaleźć nachylenie linii stycznej za pomocą pochodnej pierwotnej funkcji, a następnie wziąć jej odwrotną odwrotność, aby znaleźć nachylenie linii normalnej w tym samym punkcie. f (x) = 3x ^ 4-x ^ 3 f '(x) = 12x ^ 3-3x ^ 2 f' (- 2) = 12 (-2) ^ 3-3 (-2) ^ 2 = 12 ( -8) -3 (4) = - 108 Jeśli -108 jest nachyleniem linii stycznej, nachylenie linii normalnej wynosi 1/108. Punkt na f (x), który przecina normalna linia, to (-2, -56). Możemy zapisać równanie linii normalnej w postaci punkt-nachylenie: y + 56 = 1/108 (x + 2) W formie Czytaj więcej »

Y = x / 4 + 23/4 f (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 7x-1 Funkcja gradientu jest pierwszą pochodną f '(x) = 3x ^ 2 + 6x + 7 Więc gradient, gdy X = -1 to 3-6 + 7 = 4 Gradient normalnej, prostopadłej do stycznej wynosi -1/4 Jeśli nie jesteś pewien, narysuj linię z gradientem 4 na kwadratowym papierze i narysuj pion. Normą jest y = -1 / 4x + c Ale ta linia przechodzi przez punkt (-1, y) Z oryginalnego równania, gdy X = -1 y = -1 + 3-7-1 = 6 So 6 = -1 / 4 * -1 + c C = 23/4 Czytaj więcej »

12x ^ 3-8x "i" 36x ^ 2-8> "rozróżnij za pomocą" reguły koloru (niebieski) "• kolor (biały) (x) d / dx (ax ^ n) = nax ^ (n-1 ) dy / dx = (4xx3) x ^ 3- (2xx4) x + 0 kolor (biały) (dy / dx) = 12x ^ 3-8x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 36x ^ 2-8 Czytaj więcej »

Y '' = 12x ^ 2-12 W podanym ćwiczeniu pochodna tego wyrażenia oparta na różnicowaniu reguły mocy, która mówi: kolor (niebieski) (dx ^ n / dx = nx ^ (n-1)) Pierwszy pochodna: y = x ^ 4-6x ^ 2 + 8x + 8 y '= 4x ^ 3-12x + 8 druga pochodna: y' '= 12x ^ 2-12 Czytaj więcej »

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(pierwsza pochodna)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(druga pochodna)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(pierwsza pochodna)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) ”(druga pochodna)” Czytaj więcej »

Pierwszy test pochodny dla ekstremum lokalnego Niech x = c będzie wartością krytyczną f (x). Jeśli f '(x) zmienia swój znak z + na - wokół x = c, to f (c) jest maksimum lokalnym. Jeśli f '(x) zmienia swój znak z - na + wokół x = c, to f (c) jest lokalnym minimum. Jeśli f '(x) nie zmienia swojego znaku wokół x = c, to f (c) nie jest ani lokalnym maksimum, ani lokalnym minimum. Czytaj więcej »

Jeśli pierwsza pochodna równania jest dodatnia w tym punkcie, to funkcja rośnie. Jeśli jest ujemna, funkcja maleje. Jeśli pierwsza pochodna równania jest dodatnia w tym punkcie, to funkcja rośnie. Jeśli jest ujemna, funkcja maleje. Zobacz także: http://mathworld.wolfram.com/FirstDerivativeTest.html Załóżmy, że f (x) jest ciągły w punkcie stacjonarnym x_0. Jeśli f ^ '(x)> 0 w otwartym przedziale rozciągającym się w lewo od x_0 i f ^' (x) <0 w otwartym przedziale rozciągającym się od x_0, to f (x) ma lokalne maksimum (prawdopodobnie globalne maksimum) w x_0. Jeśli f ^ '(x) <0 w otwartym pr Czytaj więcej »

Pierwszy test pochodny dla ekstremum lokalnego Niech x = c będzie wartością krytyczną f (x). Jeśli f '(x) zmienia swój znak z + na - wokół x = c, to f (c) jest maksimum lokalnym. Jeśli f '(x) zmienia swój znak z - na + wokół x = c, to f (c) jest lokalnym minimum. Jeśli f '(x) nie zmienia swojego znaku wokół x = c, to f (c) nie jest ani lokalnym maksimum, ani lokalnym minimum. Czytaj więcej »

= 0 lim_ (x-> 0) (sin ^ 2x) / x ---- lim_ (x-> 0) (sinx) / x = 1 pomnożyć przez lim_ (x-> 0) (sinx.sinx) / x = lim_ (x-> 0) (x) / x (sinx.sinx) / x lim_ (x-> 0) (x) / x (sinx.sinx) / x = lim_ (x-> 0) x (( sinx.sinx)) / (xx) = lim_ (x-> 0) (sinx / x) (sinx / x) (x) lim_ (x-> 0) (sinx / x) (sinx / x) (x) = 1.1.x = x lim_ (x-> 0) (sin ^ 2x) / x = lim_ (x-> 0) x lim_ (x-> 0) x = 0 Czytaj więcej »

1 oo) | a_ (n + 1) / a_n |. Jeśli L <1, seria jest całkowicie zbieżna (a zatem zbieżna) Jeśli L> 1, szereg rozbiega się. Jeśli L = 1, test współczynnika jest niejednoznaczny. Jednak w przypadku Power Series możliwe są trzy przypadki. Szeregi mocy zbiegają się dla wszystkich liczb rzeczywistych; jego przedział zbieżności to (-oo Czytaj więcej »

F '(x) = (x (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2)) / (x ^ 2 + 3) = x / ((x ^ 2 + 3) (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1/2)) = x / ((x ^ 2 + 3) sqrt (ln (x ^ 2 + 3))) Podajemy: y = (ln (x ^ 2 + 3) ) ^ (1/2) y '= 1/2 * (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1 / 2-1) * d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] y' = ( ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] = (d / dx [x ^ 2 + 3]) / (x ^ 2 + 3) d / dx [x ^ 2 + 3] = 2x y '= (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2) / 2 * (2x) / (x ^ 2 + 3) = (x (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2)) / (x ^ 2 + 3) = x / ((x ^ 2 + 3) (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1/2)) = x / ((x ^ 2 + 3) sqrt (ln (x ^ 2 + 3))) Czytaj więcej »

F (x) = -1 / (ln (10)) [x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + ... + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2] Wizualnie: sprawdź ten wykres. Nie możemy wyraźnie ocenić tej całki, ponieważ używa ona zwykłych technik integracji, których się nauczyliśmy. Ponieważ jednak jest to całka określona, możemy użyć serii MacLaurin i zrobić to, co nazywamy integracją termin po terminie. Musimy znaleźć serię MacLaurin. Ponieważ nie chcemy znaleźć n-tej pochodnej tej funkcji, musimy spróbować dopasować ją do jednej z serii MacLaurin, którą już znamy. Po pierwsze, nie lubimy dziennika; chcemy, żeby to było ln. Aby to zrobić, możemy po prost Czytaj więcej »

Sqrt (6) a ^ x = exp (x * ln (a)) = 1 + x * ln (a) + (x * ln (a)) ^ 2/2 + (x * ln (a)) ^ 3 / 6 + ... => 3 ^ x + 2 ^ x = 2 + x * (ln (3) + ln (2)) + x ^ 2 * (ln (3) ^ 2 + ln (2) ^ 2 ) / 2 + x ^ 3 * (ln (3) ^ 3 + ln (2) ^ 3) / 6 + ... = 2 + x * ln (6) + x ^ 2 * (... => ( 3 ^ x) ^ 2 + (2 ^ x) ^ 2 = 3 ^ (2x) + 2 ^ (2x) = 2 + 2 * x * ln (6) + 4 * x ^ 2 * (ln (2) ^ 2 + ln (3) ^ 2) / 2 + 8 * x ^ 3 * (ln (3) ^ 3 + ln (2) ^ 3) / 6 + ... => (3 ^ (2x) + 2 ^ (2x)) / (3 ^ x + 2 ^ x) = "1 + (x * ln (6) + 3 * x ^ 2 * ...) / (2 + x * ln (6) + x ^ 2 * ...) ~~ 1+ (x * ln (6)) / 2 "(dla x" -> "0)" "p Czytaj więcej »

Jak wspomniano w komentarzach poniżej, jest to seria MacLaurin dla f (x) = cos (x), i wiemy, że jest to zbieżne (-oo, oo). Jeśli jednak chciałbyś zobaczyć ten proces: ponieważ mamy mianownik w mianowniku, używamy testu proporcji, ponieważ ułatwia to nieco uproszczenia. Ta formuła to: lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) Jeśli jest to <1, twoja seria zbiega się Jeśli jest to> 1, twoja seria rozbiega się Jeśli jest to = 1, twój test jest niejednoznaczny. , zróbmy to: lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ( (2k)!) / (X ^ (2k)) Uwaga: Bądź bardzo ostrożny przy podłączaniu Czytaj więcej »

Brak min lub maxes Punkt przegięcia przy x = -2/3. wykres {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 [-10, 10, -10, 20]} #Mins i Maxes Dla danej wartości x (nazwijmy to c) jako maks. lub min dla danej wartości funkcja musi spełniać następujące warunki: f '(c) = 0 lub niezdefiniowane. Te wartości c nazywane są również punktami krytycznymi. Uwaga: nie wszystkie punkty krytyczne są maksymalne / min, ale wszystkie maksimum / min są punktami krytycznymi Więc znajdźmy je dla twojej funkcji: f '(x) = 0 => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 To nie ma znaczenia, więc spróbujmy wzoru kwadratowego: Czytaj więcej »

„Zobacz wyjaśnienie” „Może moja odpowiedź nie jest całkowicie trafna, ale wiem„ o kolorze ”(czerwony) („ transformacja Hopf-Cole ”).„ „Transformacja Hopf-Cole to transformacja, która mapuje” „rozwiązanie koloru” (czerwony) („równanie Burgersa”) „kolor” (niebieski) („równanie ciepła”). ” „Może znajdziesz tam inspirację”. Czytaj więcej »

Dr | _ (r = 10) = 0,45 m // min. Ponieważ obszar okręgu jest A = pi r ^ 2, możemy wziąć różnicę po każdej stronie, aby uzyskać: dA = 2pirdr Stąd promień zmienia się w tempie dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir ) Zatem dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 m // min. Czytaj więcej »

206,6 „km / h” Jest to problem związany ze stawkami. W przypadku takich problemów kluczem jest narysowanie obrazu. Rozważmy poniższy diagram: Następnie piszemy równanie. Jeśli nazwiemy R odległością między samochodem Rose a skrzyżowaniem, a F odległością między samochodem Franka a skrzyżowaniem, jak możemy napisać równanie, w którym znajduje się odległość między nimi w danym momencie? Cóż, jeśli użyjemy teorii Pythogorean, stwierdzimy, że odległość między samochodami (nazwijmy to x) to: x = sqrt (F ^ 2 + R ^ 2) Teraz musimy znaleźć chwilową szybkość zmiany x w odniesieniu do czas (t). Tak więc, bie Czytaj więcej »

E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) Zaczynamy od podzielenia całki na trzy: int ^ ^ xcos (x) dx-int ^ ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = = int ^ xcos (x) dx-int a ^ 3 (x) dx-cos (x) Będę nazywał całkowitą integralną lewą 1 i prawą całkę lewą 2 Integral 1 Tutaj potrzebujemy integracji przez części i małą sztuczkę. Wzór na integrację przez części to: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx W tym przypadku I ' l niech niech f (x) = e ^ x i g '(x) = cos (x). Otrzymujemy, że f '(x) = e ^ Czytaj więcej »

Możesz użyć prawa Stevina do oceny zmiany ciśnienia na różnych głębokościach: Musisz także znać gęstość rho wody morskiej (z literatury powinieneś otrzymać: 1.03xx10 ^ 3 (kg) / m ^ 3, która jest mniej więcej dokładne, biorąc pod uwagę, że prawdopodobnie ze względu na zimne morze (myślę, że to było Morze Barentsa) i głębokości prawdopodobnie się zmieni, ale możemy zbliżyć się, aby móc dokonać naszych obliczeń). Stevin Law: P_1 = P_0 + rhog | h | Jako Ciśnienie jest „siła” / „obszar” możemy napisać: „siła” = „ciśnienie” xx „obszar” = 1.06xx10 ^ 6xx4 = 4.24xx10 ^ 6N Przypuszczałem, że powierzchnia blachy 4m ^ 2 Czytaj więcej »

Lim_ (x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) = sqrt (2) lim_ (x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) = lim_ ( x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) * sqrt (1 + cos (x)) / sqrt (1 + cos (x)) = lim_ (x-> 0) (xsqrt (1 + cos (x))) / sqrt (1-cos ^ 2 (x)) = lim_ (x-> 0) (xsqrt (1 + cos (x))) / sin (x) = lim_ (x-> 0) x / sin (x) sqrt (1 + cos (x)) = lim_ (x-> 0) x / sin (x) * lim_ (x-> 0) sqrt (1 + cos (x)) = 1 * sqrt ( 2) = sqrt (2) Czytaj więcej »

X ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) Wyraź x x tanx jako moc e: x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) = d / dxe ^ (lnxtanx) Korzystanie reguła łańcucha, d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), gdzie u = lnxtanx i d / (du) (e ^ u) = e ^ u = ( d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) Wyraź e ^ (lnxtanx) jako moc x: e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) Użyj reguły produktu, d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx), gdzie u = lnx i v = tanx = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx Pochodna tanx jest sek ^ 2x = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) Pochodn Czytaj więcej »

Szereg jest rozbieżny, ponieważ limit tego współczynnika wynosi> 1 lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 Niech a_n będzie n-tym terminem tej serii: a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) Następnie a_ (n + 1 ) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ( (n + 1)!) ^ 2) = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) = ( (2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) Czytaj więcej »

Musimy znaleźć, gdzie zmienia się wklęsłość. Są to punkty przegięcia; zazwyczaj jest to tam, gdzie druga pochodna wynosi zero. Nasza funkcja to y = f (x) = x e ^ x. Zobaczmy, gdzie f '' (x) = 0: y = f (x) = x * e ^ x Więc użyj reguły produktu: f '(x) = x * d / dx (e ^ x) + e ^ x * d / dx (x) = xe ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x (x + 1) f '' (x) = (x + 1) * d / dx (e ^ x) + e ^ x * d / dx (x + 1) = (x + 1) e ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x (x + 2) = 0 Ustaw f '' (x) = 0 i rozwiń, aby uzyskać x = -2. Druga pochodna zmienia znak na -2, a więc wklęsłość zmienia się przy x = -2 z wklęsłego w dół na lewo od -2 d Czytaj więcej »

Int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + x ^ 2/2 + x ^ 14/14 + c Używamy reguły mocy do integracji, czyli: int x ^ n dx = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ c) dla dowolnej stałej n! = -1 Tak więc, używając tego, mamy: int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + x ^ 2/2 + x ^ 14/14 + c Czytaj więcej »

Całka równa się x ^ 4 + C Zgodnie z regułą mocy, int x ^ ndx = x ^ (n + 1) / (n + 1). I = 4x ^ (3+ 1) / (3 + 1) = x ^ 4 + C Mam nadzieję, że to pomoże! Czytaj więcej »

Najpierw skonfiguruj problem. int (dy) / (dx) dx Od razu dwa terminy dx anulują się, a ty zostajesz z; int dy Rozwiązanie, które jest; y + C, gdzie C jest stałą. Nie powinno to dziwić, biorąc pod uwagę, że pochodne i całki są przeciwieństwami. Dlatego przyjęcie całki pochodnej powinno zwrócić pierwotną funkcję + C Czytaj więcej »

2e ^ {0.5x} + C int e ^ {0.5x} dx = int e ^ {0.5x} 1 / 0.5d (0.5x) = 1 / 0.5 int e ^ {0.5 x} d ( 0.5x) = 2e ^ {0.5x} + C Czytaj więcej »

Integracja przez części w dv = uv- int v du Niech u = ln (7x) "" "" dv = dx => du = {dx} / x "" "" => v = x Integracja przez części, int ln (7x) dx = ln (7x) cdot x-int x cdot {dx} / x = x ln (7x) -int dx + C = x ln (7x) - x + CI ma nadzieję, że to było pomocne. Czytaj więcej »

Nie można wyrazić tej całki w kategoriach funkcji elementarnych. W zależności od tego, czego potrzebujesz integracji, możesz wybrać sposób integracji lub inny. Integracja za pomocą szeregu mocy Przypomnijmy, że e ^ x jest analityczne na mathbb {R}, więc forall xw Mathbb {R} następująca równość posiada e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / { n!} a to oznacza, że e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!} Teraz możesz zintegrować: int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n! }) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / { Czytaj więcej »

Wskazówka: Najpierw zastosuj podstawienie trygonometryczne. To pytanie jest w postaci sqrt (a ^ 2-x ^ 2). Więc pozwoliłeś x = a sinx (w tym przypadku jest to 1), a następnie weź pochodną x. Podłącz go z powrotem do pytania int sqrt (1-x ^ 2) dx Musisz użyć tożsamości pół-kąta po. Zintegrować. Otrzymasz całkę nieokreśloną. Ustaw trójkąt prawy, aby znaleźć wartość całki nieokreślonej. Mam nadzieję, że ten film pomoże wyjaśnić. Czytaj więcej »

Ilekroć widzę takie funkcje, rozpoznaję (ćwicząc dużo), że powinieneś użyć specjalnej substytucji tutaj: int sqrt (9-x ^ 2) dx x = 3sin (u) To może wyglądać jak dziwne podstawienie, ale zobaczysz, dlaczego to robimy. dx = 3cos (u) du Zastąp cohting całką: int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du Możemy sprowadzić 3 z całki: 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du 3 * int sqrt (9-9s ^ 2 (u)) * cos (u) du Możesz uwzględnić 9 out: 3 * int sqrt (9 (1) -sin ^ 2 (u))) * cos (u) du 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du Znamy tożsamość: cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 Jeśli rozwiązujemy dla cosx, otrzymujemy: cos ^ 2x = 1-sin Czytaj więcej »

Int 1 / x dx = ln abs x + C Przyczyna zależy od definicji użytego ln x. Wolę: Definicja: lnx = int_1 ^ x 1 / t dt dla x> 0 Według Podstawowego Twierdzenia Rachunku, otrzymujemy: d / (dx) (lnx) = 1 / x dla x> 0 Od tego i reguły łańcucha , otrzymujemy również d / (dx) (ln (-x)) = 1 / x dla x <0 W przedziale, który wyklucza 0, pierwotną wartością 1 / x jest lnx, jeśli przedział składa się z liczb dodatnich i jest ln (-x) jeśli przedział składa się z liczb ujemnych. ln abs x obejmuje oba przypadki. Czytaj więcej »

1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2} / {sqrt (x ^ 3 + 4) +2} | + C Zastąp x x 3 + 4 = u ^ 2. Następnie 3x ^ 2dx = 2udu, tak że dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = {2udu} / {3x ^ 3u} = 2/3 {du} / (u ^ 2-4) = 1 / 6 ({du} / {u-2} - {du} / {u + 2}) Zatem int dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = 1/6 int ({du} / {u- 2} - {du} / {u + 2}) = 1/6 ln | {u-2} / {u + 2} | + C = 1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2 } / {sqrt (x ^ 3 + 4) +2} | + C Czytaj więcej »

-2 / 3sqrt (1-x) (2 + x) + C Niech, u = sqrt (1-x) lub, u ^ 2 = 1-x lub, x = 1-u ^ 2 lub, dx = -2udu Teraz int (xdx) / (sqrt (1-x)) = int (1-u ^ 2) (- 2udu) / u = int 2u ^ 2du -int 2du Teraz, int 2u ^ 2 du -int 2du = ( 2u ^ 3) / 3 - 2 (u) + C = 2 / 3u (u ^ 2-3) + C = 2 / 3sqrt (1-x) {(1-x) -3} + C = 2 / 3sqrt (1-x) (- 2-x) + C = -2 / 3sqrt (1-x) (2 + x) + C Czytaj więcej »

Zobacz poniżej. Używając tożsamości wielomianowej (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) mamy dla abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) następnie, dla x ne k pi, k w ZZ mamy sumę_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) Czytaj więcej »

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["to przedział zbieżności dla x" "x = 3 nie jest w przedziale zbieżności, więc suma dla x = 3 to" oo "Traktuj sumę tak, jak jest to seria geometryczna zastępująca „z = log_2 ((x + 1) / (x-2))” „Mamy więc„ sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) ”dla” | z | <1 "Tak więc przedział zbieżności wynosi" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) „LUB” (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) ”(x-2 negatywne)” „Przypadek dodatni:” => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <x + 4 <3 (x-2) => -4 <x < Czytaj więcej »

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Możemy użyć tej sumy_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n jest szeregiem geometrycznym ze współczynnikiem r = 1 / (x (1-x)). Teraz wiemy, że seria geometryczna zbiega się, gdy wartość bezwzględna stosunku jest mniejsza niż 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Więc musimy rozwiązać tę nierówność: 1 / (x (1-x)) <1 i 1 / (x (1-x))> -1 Zacznijmy od pierwszego: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x) )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Możemy łatwo udowodnić, że licznik jest zawsze dodatni, a mianownik jest przedział xw (-oo, 0) U (1, oo). Czytaj więcej »

(-3, -8) Punkty stacjonarne funkcji są wtedy, gdy dy / dx = 0 y = x ^ 2 + 6x + 1 dy / dx = 2x + 6 dy / dx = 0 = 2x + 6 x = -6 / 2 = -3 (-3) ^ 2 + 6 (-3) + 1 = 9-18 + 1 = -8 Punkt stacjonarny występuje przy (-3, -8) Czytaj więcej »

Maksymalna objętość cylindra znajduje się, jeśli wybierzemy r = sqrt (2/3) R i h = (2R) / sqrt (3) Ten wybór prowadzi do maksymalnej objętości cylindra: V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) `` Wyobraź sobie przekrój przez środek cylindra i niech cylinder ma wysokość h i objętość V, wtedy mamy; h i r można zmieniać, a R jest stałą. Objętość cylindra jest określona przez standardowy wzór: V = pir ^ 2h Promień kuli, R jest przeciwprostokątną trójkąta o bokach r i 1 / 2h, więc używając Pythagorasa, mamy: R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 Możemy zastąpić to w naszy Czytaj więcej »

Ostrzeżenie: Twój nauczyciel matematyki nie polubi tej metody rozwiązania! (ale jest bliżej tego, jak byłoby to zrobione w prawdziwym świecie). Zauważ, że jeśli x jest bardzo małe (więc drabina jest prawie pionowa), długość drabiny będzie wynosić prawie oo, a jeśli x jest bardzo duże (więc drabina jest prawie pozioma), długość drabiny będzie (znowu) prawie oo Jeśli zaczniemy od bardzo małej wartości x i stopniowo ją zwiększymy, długość drabiny będzie (początkowo) krótsza, ale w pewnym momencie będzie musiała zacząć ponownie wzrastać. Możemy zatem znaleźć wartości bracketingu „niski X” i „wysoki X”, pomiędzy kt Czytaj więcej »

Powiedziałbym, że oo; W swoim limicie możesz zbliżyć się do 1 od lewej (x mniejsze niż 1) lub do prawej (x większe niż 1), a mianownik zawsze będzie bardzo małą liczbą i dodatnią (z powodu mocy dwóch) dając: lim_ ( x-> 1) (5 / (x-1) ^ 2) = 5 / (+ 0,0000 .... 1) = oo Czytaj więcej »

Lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = 0. Ustalamy to, wykorzystując Regułę L'Hospitala. Parafrazując, reguła L'Hospital określa, że po wyznaczeniu limitu postaci lim_ (x a) f (x) / g (x), gdzie f (a) i g (a) są wartościami, które powodują, że limit jest nieokreślony (najczęściej, jeśli oba są 0 lub jakąś formą ), tak długo, jak obie funkcje są ciągłe i różniczkowalne na iw pobliżu a, można stwierdzić, że lim_ (x a) f (x) / g (x) = lim_ (x a) (f '(x)) / (g' (x)) Lub słownie, granica ilorazu dwóch funkcji jest równa granicy ilorazu ich pochodnych. W podanym przykładzie mamy f (x) = cos (x Czytaj więcej »

Istnieje kilka sposobów na napisanie tego. Wszyscy przechwytują ten sam pomysł. Dla y = f (x) pochodna y (w odniesieniu do x) to y '= dy / dx = lim_ (Deltax rarr0) (Delta y) / (Delta x) f' (x) = lim_ (Deltax rarr0 ) (f (x + Delta x) -f (x)) / (Delta x) f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / (h) f' ( x) = lim_ (urarrx) (f (u) -f (x)) / (ux) Czytaj więcej »

Lim_ (x-> 0) sin (x) / x = 1. Ustalamy to za pomocą reguły L'Hospitala. Parafrazując, reguła L'Hospital określa, że po wyznaczeniu limitu postaci lim_ (x-> a) f (x) / g (x), gdzie f (a) i g (a) są wartościami powodującymi ograniczenie być nieokreślone (najczęściej, jeśli oba są 0 lub jakąś formą oo), to tak długo, jak obie funkcje są ciągłe i różniczkowalne na iw pobliżu a, można stwierdzić, że lim_ (x-> a) f (x ) / g (x) = lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)) Lub słownie, granica ilorazu dwóch funkcji jest równa granicy ilorazu ich pochodne. W podanym przykładzie mamy f (x) = sin (x Czytaj więcej »

E ^ 4 Zanotuj definicję dwumianową dla liczby Eulera: e = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) ^ (1 / x) Tutaj Użyję definicji x-> oo. W tej formule niech y = nx Wtedy 1 / x = n / y, a x = y / n Liczba Eulera jest wtedy wyrażona w bardziej ogólnej formie: e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) Innymi słowy, e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y Ponieważ y jest również zmienną, możemy zastąpić x zamiast y: e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x Dlatego, gdy n = 4, lim_ (x-> oo) (1 + 4 / x) ^ x = e ^ 4 Czytaj więcej »

Lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 Niech: f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) " "= ((e ^ x-1) - (x)) / (x (e ^ x-1))" "= (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx) Następnie szukamy: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx) Ponieważ jest to postać nieokreślona 0/0, możemy zastosuj regułę L'Hôpital. L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ xx)) = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x -1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) Ponownie, jest to nieokreślona forma 0/0, którą możemy ponownie zastosować regułę L'Hôpital: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1) Czytaj więcej »

Jeśli dwa limity dodane razem indywidualnie zbliżają się do 0, cała rzecz zbliża się do 0. Użyj właściwości, która rozdziela limity na dodawanie i odejmowanie. => lim_ (x-> oo) 1 / x - lim_ (x-> oo) 1 / (e ^ x - 1) Pierwszy limit jest trywialny; 1 / „duży” ~~ 0. Drugi prosi cię, abyś wiedział, że e ^ x wzrasta wraz ze wzrostem x. Stąd jako x-> oo, e ^ x -> oo. => kolor (niebieski) (lim_ (x-> oo) 1 / x - 1 / (e ^ x - 1)) = 1 / oo - 1 / (oo - anuluj (1) ^ "mały") = 0 - 0 = kolor (niebieski) (0) Czytaj więcej »

Lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) 1/2 Suma dwóch terminów: 1 / x-1 / (e ^ x-1) = (xe ^ x + 1) / (x (e ^ x-1)) Limit jest teraz w nieokreślonej formie 0/0, więc możemy teraz zastosować regułę l'Hospital: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x- 1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x + 1-x)) / (d / dx x (e ^ x-1)) lim_ ( x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x-1) / (e ^ x-1 + xe ^ x ) i jak to ma miejsce w postaci 0/0 po raz drugi: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (e ^ x-1 + xe ^ x)) lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ Czytaj więcej »

Spójrz poniżej Najpierw przepisz to jako lim_ (x-> 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2 teraz współczynnik (x-1) ^ 2 = (x-1) (x-1) = x ^ 2- 2x + 1 frak {7} {4x ^ 2-2x + 1} teraz zastąp x -> 1 frak {7} {4 (1) ^ 2 -2 (1) +1 7/3 dlatego lim_ (x- > 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2) = 7/6 Czytaj więcej »

1 / ex ^ (1 / (1-x)): wykres {x ^ (1 / (1-x)) [-2.064, 4.095, -1.338, 1.74]} To byłoby o wiele łatwiejsze, gdybyśmy po prostu wzięli ln obu stron. Ponieważ x ^ (1 / (1-x)) jest ciągły w przedziale otwartym na prawo od 1, możemy powiedzieć, że: ln [lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1- x))] = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) Ponieważ ln (1) = 0 i (1 - 1) = 0, ma to postać 0/0 i ma zastosowanie reguła L'Hopital: = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) I oczywiście 1 / x jest ciągły z każdej strony x = 1. => ln [lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))] = -1 W rezult Czytaj więcej »

(Przypuszczam, że masz na myśli x = 0) Funkcja, używając właściwości mocy, staje się: y = ((1 + x) ^ (1/2)) ^ (1/5) = (1 + x) ^ (( 1/2) (1/5)) = (1 + x) ^ (1/10) Aby uzyskać liniową aproksymację tej funkcji, dobrze jest zapamiętać serię MacLaurina, czyli wielomian Taylora wyśrodkowany na zero. Ta seria, przerywana do drugiej mocy, to: (1 + x) ^ alfa = 1 + alfa / (1!) X + (alfa (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 ... więc liniowy aproksymacja tej funkcji jest następująca: g (x) = 1 + 1 / 10x Czytaj więcej »