Rachunek Różniczkowy

Wykres jest hiperbolą, więc istnieją dwie linie symetrii: y = x-1 i y = -x + 1 Wykres y = 1 / (x-1) jest hiperbolą. Hiperboli mają dwie linie symetrii. obie linie symetrii przechodzą przez środek hiperboli. Jeden przechodzi przez wierzchołki (i przez ogniska), a drugi jest prostopadły do pierwszego. Wykres y = 1 / (x-1) jest tłumaczeniem wykresu y = 1 / x. y = 1 / x ma środek (0,0) i dwie symetrii: y = x i y = -x Dla y = 1 / (x-1) zastąpiliśmy x przez x-1 (i nie zastąpiliśmy y To przekłada środek na punkt (1,0), wszystko przesuwa się o 1 w prawo, wykres, asymptoty i linie symetrii. Y = 1 / (x-1) ma środek (1,0) i dwa syme Czytaj więcej »

3/2 * (sqrt (x ^ 3 - 2x + 3)) * (3x ^ 2 - 2) Reguła łańcucha: d / dx f (g (x)) = f '(g (x)) * g' (x) Reguła mocy: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Zastosowanie tych reguł: 1 Funkcja wewnętrzna, g (x) to x ^ 3-2x + 3, funkcja zewnętrzna, f (x) jest g (x) ^ (3/2) 2 Weź pochodną funkcji zewnętrznej za pomocą reguły mocy d / dx (g (x)) ^ (3/2) = 3/2 * g (x) ^ (3/2 - 2/2) = 3/2 * g (x) ^ (1/2) = 3/2 * sqrt (g (x)) f '(g (x)) = 3/2 * sqrt (x ^ 3 - 2x + 3) 3 Weź pochodną funkcji wewnętrznej d / dx g (x) = 3x ^ 2 -2 g '(x) = 3x ^ 2 -2 4 Pomnóż f' (g (x )) z g '(x) (3/2 * sqrt (x ^ 3 - 2x + 3)) * (3x ^ 2 - Czytaj więcej »

Intx ^ 2e ^ (- x) dx = -e ^ (- x) (x ^ 2 + 2x + 2) + C Integracja według części mówi, że: intv (du) / (dx) = uv-intu (dv) / (dx) u = x ^ 2; (du) / (dx) = 2x (dv) / (dx) = e ^ (- x); v = -e ^ (- x) intx ^ 2e ^ (- x) dx = -x ^ 2e ^ (- x) -int-2xe ^ (- 2x) dx Teraz robimy to: int-2xe ^ (- 2x) dx u = 2x; (du) / (dx) = 2 (dv ) / (dx) = - e ^ (- x); v = e ^ (- x) int-2xe ^ (- x) dx = 2xe ^ (- x) -int2e ^ (- x) dx = 2xe ^ ( -x) + 2e ^ (- x) intx ^ 2e ^ (- x) dx = -x ^ 2e ^ (- x) - (2xe ^ (- x) + 2e ^ (- x)) = - x ^ 2e ^ (- x) -2xe ^ (- x) -2e ^ (- x) + C = -e ^ (- x) (x ^ 2 + 2x + 2) + C Czytaj więcej »

„Normalny” => y = - (3x) / (8-24sqrt3) + (152sqrt3-120 + 3pi) / (24-72sqrt2) => y ~~ 0,089x-1,52 Normalna jest prostopadła do stycznej. f (x) = sec (4x) -cot (2x) f '(x) = 4 sekundy (4x) tan (3x) + 2csc ^ 2 (2x) f' (pi / 3) = 4 sekundy ((4pi) / 3 ) tan ((4pi) / 3) + 2csc ^ 2 ((2pi) / 3) = (8-24sqrt3) / 3 Dla normalnych, m = -1 / (f '(pi / 3)) = - 3 / ( 8-24sqrt3) f (pi / 3) = sec ((4pi) / 3) -cot ((2pi) / 3) = (sqrt3-6) / 3 (sqrt3-6) / 3 = -3 / (8- 24sqrt3) (pi / 3) + cc = (sqrt3-6) / 3 + pi / (8-24sqrt3) = (152sqrt3-120 + 3pi) / (24-72sqrt2) „Normal”: y = - (3x) / (8-24sqrt3) + (152sqrt3-120 + 3pi) / (24 Czytaj więcej »

Myślę, że pytasz o pochodną kierunkową tutaj i maksymalną szybkość zmian, która jest gradientem, prowadzącym do normalnego wektora vec n. Więc dla skalara f (x, y) = y ^ 2 / x możemy powiedzieć, że: nabla vec f = langle - y ^ 2 / x ^ 2, (2y) / x rangle = vec n And: vec n _ {( 2,4)} = nabla f _ {(2,4)} = langle -4, 4 rangle Możemy więc wnioskować, że: abs (vec n _ {(2,4)}) = abs (langle -4, 4 rangle) = 2 sqrt2 Czytaj więcej »

X_ {max} = + infty x_ {min} = 0 Funkcja ma asymptotę pionową w x = pi, a jej maksimum jest wtedy, gdy mianownik ma najniższą wartość tylko dla x = + pi, zamiast tego jest minimalny, gdy mianownik jest największy to znaczydla x = 0 i x = 2pi Taki sam wniosek można było wywnioskować, wyprowadzając funkcję i badając znak pierwszej pochodnej! Czytaj więcej »

Po pierwsze, nie ma nieokreślonych liczb. Są liczby i są opisy, które brzmią tak, jakby mogły opisywać liczbę, ale tak nie jest. „Liczba x, która sprawia, że x + 3 = x-5” jest takim opisem. Podobnie jak „Numer 0/0”. Najlepiej unikać mówienia (i myślenia), że „0/0 jest liczbą nieokreśloną”. . W kontekście limitów: Podczas oceny limitu funkcji „zbudowanej” przez jakąś algebraiczną kombinację funkcji, używamy właściwości limitów. Oto niektóre z nich. Zwróć uwagę na warunek określony na początku. Jeśli lim_ (xrarra) f (x) istnieje, a lim_ (xrarra) g (x) istnieje, to lim_ (xrarra) (f (x) + g Czytaj więcej »

9 Względne punkty minimalne i maksymalne można znaleźć ustawiając pochodną na zero. W tym przypadku f '(x) = 0 iff6x-6 = 0 iff x = 1 Odpowiednia wartość funkcji w 1 wynosi f (1) = 9. Stąd punkt (1,9) jest względnym skrajnym punktem. Ponieważ druga pochodna jest dodatnia, gdy x = 1, f '' (1) = 6> 0, oznacza to, że x = 1 jest względnym minimum. Ponieważ funkcja f jest wielomianem drugiego stopnia, jej wykres jest parabolą, a zatem f (x) = 9 jest również absolutnym minimum funkcji (-oo, oo). Załączony wykres również weryfikuje ten punkt. wykres {3x ^ 2-6x + 12 [-16,23, 35,05, -0,7, 24,94]} Czytaj więcej »

Minimalna wartość to x = 1-sqrt 5 approx "-" 1,236; g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) approx "-" 0,405. W przedziale zamkniętym możliwe lokalizacje dla minimum będą: lokalne minimum wewnątrz przedziału lub punkty końcowe przedziału. Dlatego obliczamy i porównujemy wartości dla g (x) w dowolnym x w ["-2", 2], co powoduje, że g '(x) = 0, jak również w x = "- 2" i x = 2. Po pierwsze: co to jest g (x)? Korzystając z reguły ilorazu, otrzymujemy: g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 kolor (biały) ( g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4 Czytaj więcej »

Funkcja stale wzrasta w przedziale [1,7], jej minimalna wartość wynosi x = 1. Oczywiste jest, że x ^ 2-2x-11 / x nie jest zdefiniowany w x = 0, jednak jest zdefiniowany w przedziale [1,7]. Teraz pochodna x ^ 2-2x-11 / x wynosi 2x-2 - (- 11 / x ^ 2) lub 2x-2 + 11 / x ^ 2 i jest dodatnia w całym [1,7] Stąd funkcja jest stale wzrastając w przedziale [1,7] i jako taka minimalna wartość x ^ 2-2x-11 / x w przedziale [1,7] wynosi x = 1. wykres {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]} Czytaj więcej »

Minimalna wartość 0 znajduje się zarówno w x = 0, jak i x = 1. Po pierwsze, możemy natychmiast napisać tę funkcję jako g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) Przywołując, że csc (x) = 1 / sin (x). Teraz, aby znaleźć minimalne wartości w interwale, rozpoznaj, że mogą wystąpić albo w punktach końcowych przedziału, albo w dowolnych krytycznych wartościach, które występują w przedziale. Aby znaleźć wartości krytyczne w przedziale, ustaw pochodną funkcji równą 0. Aby odróżnić funkcję, będziemy musieli użyć reguły produktu. Zastosowanie reguły produktu daje nam g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (s Czytaj więcej »

Lim_ (xtooo) log (4 + 5x) - log (x-1) = log (5) lim_ (xtooo) log (4 + 5x) - log (x-1) = lim_ (xtooo) log ((4 + 5x) ) / (x-1)) Używanie reguły łańcuchowej: lim_ (xtooo) log ((4 + 5x) / (x-1)) = lim_ (utoa) log (lim_ (xtooo) (4 + 5x) / (x- 1)) lim_ (xtooo) (ax + b) / (cx + d) = a / c lim_ (xtooo) (5x + 4) / (x-1) = 5 lim_ (uto5) log (u) = log5 Czytaj więcej »

-sin (pi / 2x ^ 2-pix) * (pix-pi) Najpierw weź pochodną funkcji zewnętrznej, cos (x): -sin (pi / 2x ^ 2-pix). Ale musisz też pomnożyć to przez pochodną tego, co jest w środku (pi / 2x ^ 2-pix). Zrób to termin po terminie. Pochodna pi / 2x ^ 2 wynosi pi / 2 * 2x = pik. Pochodna -pix to tylko -pi. Więc odpowiedź brzmi -sin (pi / 2x ^ 2-pix) * (pix-pi) Czytaj więcej »

Odpowiedź brzmi x + arctan (x) Najpierw zauważ, że: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) można zapisać jako (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = Pochodna arctan (x) wynosi 1 / (1 + x ^ 2). Oznacza to, że pierwotna wartość 1 / (1 + x ^ 2) to arctan (x) I na tej podstawie możemy napisać: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan ( x) Stąd int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan (x) + c Więc antivi Czytaj więcej »

Oto jeden przykład ... Możesz mieć (nsin (t), mcos (t)), gdy n! = M, a n im nie równają się 1. Jest to zasadniczo dlatego, że: => x = nsin (t) => x ^ 2 = n ^ 2sin ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 = sin ^ 2 (t) => y = mcos (t) => y ^ 2 / m ^ 2 = cos ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) Używając faktu, że sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 ( x) = 1 ... => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = 1 To jest w zasadzie elipsa! Zauważ, że jeśli chcesz mieć elipsę inną niż okrąg, musisz upewnić się, że n! = M Czytaj więcej »

Intcosx / sin ^ 2xdx = -cscx Niech u = sinx, następnie du = cosxdx i intcosx / sin ^ 2xdx = int (du) / u ^ 2 = -1 / u = -1 / sinx = -cscx Czytaj więcej »

43 Chwilowa prędkość jest podawana przez (ds) / dt. Ponieważ s (t) = t ^ 3 + 8t ^ 2-t, (ds) / dt = 3t ^ 2 + 16t-1. W t = 2, [(ds) / dt] _ (t = 2) = 3 * 2 ^ 2 + 16 * 2-1 = 43. Czytaj więcej »

Sekwencja jest zbieżna. Aby ustalić, czy sekwencja a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n jest zbieżna, obserwujemy, co a_n ma jako n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Korzystanie z reguły l'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Ponieważ lim_ (n-> oo) a_n jest wartością skończoną, sekwencja jest zbieżna. Czytaj więcej »

Odpowiedź brzmi (3x ^ 2-3) * (2x ^ 2 + 3x + 5) + (x ^ 3 - 3x) * (4x + 3), co upraszcza do 10x ^ 4 + 12x ^ 3-3x ^ 2- 18x-15. Zgodnie z regułą produktu, (f g) ′ = f ′ g + f g means Oznacza to tylko, że gdy rozróżniasz produkt, robisz pochodną pierwszego, pozostawiając drugi sam, plus pochodną drugiego, zostaw pierwszy sam. Pierwszym będzie (x ^ 3 - 3x), a drugim (2x ^ 2 + 3x + 5). Dobra, teraz pochodna pierwszego jest 3x ^ 2-3, razy druga (3x ^ 2-3) * (2x ^ 2 + 3x + 5). Pochodna drugiej to (2 * 2x + 3 + 0) lub po prostu (4x + 3). Pomnóż przez pierwsze i uzyskaj (x ^ 3 - 3x) * (4x + 3). Dodaj teraz obie części ra Czytaj więcej »

112pi ”lub„ 351,86 cm ”/” min Moneta może być traktowana jako mały cylinder. A jego objętość jest uzyskiwana ze wzoru: V = pir ^ 2h Zostaliśmy poproszeni o określenie, jak zmienia się głośność. Oznacza to, że szukamy szybkości zmiany głośności w odniesieniu do czasu, czyli (dV) / (dt). Wszystko, co musimy zrobić, to różnicować głośność w odniesieniu do czasu, jak pokazano poniżej, => (dV) / (dt) = d (pir ^ 2h) / (dt) = pi (2r * (dr) / (dt) + (dh) / (dt)) Powiedzieliśmy, że: (dr) / (dt) = 6 cm "/" min, (dh) / (dt) = 4 cm "/" min, r = 9 cm i h = 12 cm => (dV) / (dt) = pi (2 (9) * (6) + (4)) = 1 Czytaj więcej »

2 sek (2x) (sek ^ 2 (2x) + tan ^ 2 (2x)) y '= (sek (2x)) (tan (2x))' + (tan (2x)) (sek (2x)) '( Reguła produktu) y '= (sek (2x)) (sek ^ 2 (2x)) (2) + (tan (2x)) (sek (2x) tan (2x)) (2) (reguła łańcucha i pochodne trig ) y '= 2 sekundy ^ 3 (2x) + 2 sekundy (2x) tan ^ 2 (2x) y' = 2 sekundy (2x) (sec ^ 2 (2x) + tan ^ 2 (2x)) Czytaj więcej »

Reguła produktu dla pochodnych stwierdza, że dana funkcja f (x) = g (x) h (x), pochodna funkcji jest f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Reguła produktu jest używana głównie wtedy, gdy funkcja, dla której pożądana jest pochodna, jest rażąco iloczynem dwóch funkcji, lub gdy funkcja byłaby łatwiejsza do odróżnienia, gdyby była postrzegana jako iloczyn dwóch funkcji. Na przykład, patrząc na funkcję f (x) = tan ^ 2 (x), łatwiej jest wyrazić funkcję jako produkt, w tym przypadku f (x) = tan (x) tan (x). W tym przypadku wyrażanie funkcji jako produktu jest łatwiejsze, ponieważ podstawowe po Czytaj więcej »

Y '= (5x-2) ^ 3 (6x + 1) ^ 2 ((15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1)) 1 / ln (y) = 3ln (5x-2 ) + 2ln (6x + 1) 2 / (1) / (y) y '= (3) ((1) / (5x-2)) (5) + (2) ((1) / (6x + 1) )) (6) 3 / (1) / (y) y '= (15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1) 4 / y' = y ((15) / (5x- 2) + (12) / (6x + 1)) 5 / y '= (5x-2) ^ 3 (6x + 1) ^ 2 ((15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1)) Czytaj więcej »

Limit pozwala nam zbadać tendencję funkcji wokół danego punktu, nawet jeśli funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie. Spójrzmy na poniższą funkcję. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Ponieważ jego mianownik wynosi zero, gdy x = 1, f (1) jest niezdefiniowane; jednak jego limit w x = 1 istnieje i wskazuje, że wartość funkcji zbliża się do 2. lim_ {x do 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x do 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x do 1 } (x + 1) = 2 To narzędzie jest bardzo przydatne w rachunku różniczkowym, gdy nachylenie linii stycznej jest aproksymowane przez nachylenia linii siecznych z zbliżającymi się punktami przecięcia, Czytaj więcej »

Y = x-7 Niech y = f (x) = x ^ 2-5x + 2 W x = 3, y = 3 ^ 2-5 * 3 + 2 = 9-15 + 2 = -6 + 2 = -4 Tak więc współrzędna jest na (3, -4). Najpierw musimy znaleźć nachylenie linii stycznej w punkcie, rozróżniając f (x) i podłączając tam x = 3. : .f '(x) = 2x-5 Przy x = 3, f' (x) = f '(3) = 2 * 3-5 = 6-5 = 1 Tak więc nachylenie linii stycznej będzie 1. Teraz używamy wzoru punkt-nachylenie, aby obliczyć równanie linii, to znaczy: y-y_0 = m (x-x_0), gdzie m jest nachyleniem linii, (x_0, y_0) to oryginał współrzędne. I tak, y - (- 4) = 1 (x-3) y + 4 = x-3 y = x-3-4 y = x-7 Wykres pokazuje, że to prawda: Czytaj więcej »

Szybkość zmiany szerokości w czasie (dW) / (dt) = 0,6 „ft / s” (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx (dh) / dt (dh) / (dt) ) = - 1 "ft / s" So (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx-1 = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / h (dW) / ( dh) = - (60) / (h ^ 2) So (dW) / (dt) = - (- (60) / (h ^ 2)) = (60) / (h ^ 2) Więc kiedy h = 10 : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0,6 "ft / s" Czytaj więcej »

Średnia szybkość zmiany daje nachylenie linii siecznej, ale chwilowa szybkość zmiany (pochodna) daje nachylenie linii stycznej. Średnia szybkość zmian: (f (x + h) -f (x)) / h = (f (b) -f (a)) / (ba), gdzie przedział to [a, b] Chwilowa szybkość zmiany : lim_ (h -> 0) (f (x + h) -f (x)) / h Zauważ również, że średnia szybkość zmian przybliża chwilową szybkość zmian w bardzo krótkich odstępach czasu. Czytaj więcej »

Y = cscx = 1 / sinx = (sinx) ^ - 1 Aby znaleźć max / min, znajdujemy pierwszą pochodną i odnajdujemy wartości, dla których pochodna wynosi zero. y = (sinx) ^ - 1: .y '= (- 1) (sinx) ^ - 2 (cosx) (reguła łańcucha): .y' = - cosx / sin ^ 2x Przy max / min, y '= 0 => - cosx / sin ^ 2x = 0: .cosx = 0: .x = -pi / 2, pi / 2, ... Gdy x = pi / 2 => y = 1 / sin (pi / 2) = 1 Gdy x = -pi / 2 => y = 1 / sin (-pi / 2) = - 1 Więc są punkty zwrotne przy (-pi / 2, -1) i (pi / 2,1) Jeśli spojrzymy na wykresie y = cscx obserwujemy, że (-pi / 2, -1) jest względnym maksimum i (pi / 2,1) jest względnym minimum. graph { Czytaj więcej »

I = 1 / 4ln (x ^ 4-4x ^ 2) + C Chcemy rozwiązać I = int (x ^ 2-2) / (x ^ 3-4x) dx Pomnóż DEN i NUM przez x I = int ( x ^ 3-2x) / (x ^ 4-4x ^ 2) dx Teraz możemy zrobić ładny kolor podstawienia (czerwony) (u = x ^ 4-4x ^ 2 => du = 4x ^ 3-8xdx = 4 ( x ^ 3-2x) dx I = 1 / 4int1 / udu kolor (biały) (I) = 1 / 4ln (u) + C kolor (biały) (I) = 1 / 4ln (x ^ 4-4x ^ 2) + C Czytaj więcej »

Jak wyjaśniono poniżej. Jeśli istnieje konserwatywne pole wektorowe F (x, y, z) = Mdx + Ndy + Pdz. jego potencjalną funkcję można znaleźć. Jeśli potencjalną funkcją jest, powiedzmy, f (x, y, z), to f_x (x, y, z) = M, f_y (x, y, z) = N i f_z (x, y, z) = P . Następnie f (x, y, z) = int Mdx + C1 f (x, y, z) = int Ndy + C2 i f (x, y, z) = int Pdz + C3, gdzie C1 byłoby jakąś funkcją y i z, C2 byłoby pewną funkcją x i z, C3 stanowiłoby pewną funkcję x i y Z tych trzech wersji f (x, y, z) można określić funkcję potencjalną f (x, y, z) . Podjęcie jakiegoś konkretnego problemu lepiej ilustruje metodę. Czytaj więcej »

-1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Aby to rozróżnić, zastosujemy regułę łańcuchową: Zacznij od Letta theta = arcsin (1 / x) => sin (theta) = 1 / x Teraz rozróżnij każdy termin obie strony równania względem x => cos (theta) * (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 Korzystanie z tożsamości: cos ^ 2theta + sin ^ 2theta = 1 => costheta = sqrt (1-sin ^ 2theta) => sqrt (1-sin ^ 2theta) * (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 => (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 * 1 / sqrt (1-sin ^ 2theta) Przypomnij: sin (theta) = 1 / x "" i "" theta = arcsin (1 / x) Możemy więc pisać (d (arcsin (1 / x))) / (dx) = - 1 / Czytaj więcej »

F '' (x) = 6 / x ^ 4> przepisuj f (x) = 1 / x ^ 2 = x ^ -2 rArr f '(x) = -2x ^ -3 rArr f' '(x) = 6x ^ -4 = 6 / x ^ 4 Czytaj więcej »

(4f * g) (x) Niech P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) Następnie za pomocą reguły produktu: P '(x) = f' (x) g ( x) + f (x) g '(x). Używając warunku podanego w pytaniu, otrzymujemy: P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 Teraz używając reguł mocy i łańcucha: P' '(x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x). Stosując ponownie specjalny warunek tego pytania, piszemy: P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) Czytaj więcej »

H '' (x) = 9 sekund (3x + 1) [sec ^ 2 (3x + 1) + tan ^ 2 (3x + 1)] Biorąc pod uwagę: h (x) = sec (3x + 1) Użyj następującej pochodnej zasady: (sec u) '= u' sec u tan u; „” (tan u) '= u' sec ^ 2 u Reguła produktu: (fg) '= f g' + g f 'Znajdź pierwszą pochodną: Niech u = 3x + 1; „„ u ”= 3 godz. (u) = 3 sek. u h” (x) = 3 sek. (3x + 1) tan (3x + 1) Znajdź drugą pochodną za pomocą reguły produktu: Niech f = 3 sek. (3x + 1); „” f '= 9 sek (3x + 1) tan (3x + 1) Niech g = tan (3x + 1); "" g '= 3 sek ^ 2 (3x + 1) h' '(x) = (3 sek (3x + 1)) (3 sek ^ 2 (3x + 1)) + (tan (3x Czytaj więcej »

F '' (x) = sec x (s ^ 2 x + a ^ 2 x) dana funkcja: f (x) = s x Różnicowanie w.r.t. x jak następuje: frac {d} {dx} f (x) = frak {d} {dx} (s x) f '(x) = s x x x Znowu, różnicując f' (x) w.r.t. x, otrzymujemy frac {d} {dx} f '(x) = frak {d} {dx} (s x x x) f' '(x) = s x frac {d} { dx} an x + x x frak {d} {dx} sek = s x sek ^ 2 x + x x s x x x x s ^ 3 x + s x x ^ 2 x = s x (s ^ 2 x + a ^ 2 x) Czytaj więcej »

D ^ 2 / (dx ^ 2) x / (x-1) = 2 / (x-1) ^ 3 Dla tego problemu użyjemy reguły ilorazu: d / dx f (x) / g (x) = (g (x) f '(x) -f (x) g' (x)) / [g (x)] ^ 2 Możemy również nieco ułatwić dzielenie, aby uzyskać x / (x-1) = 1 + 1 / (x-1) Pierwsza pochodna: d / dx (1 + 1 / (x-1)) = (d / dx1) + (d / dx ((x-1) (d / dx1) -1 (d / dx (x-1))) / (x-1) ^ 2) = 0 + ((x-1) (0) - (1) (1)) / (x-1) ^ 2 = - 1 / (x-1) ^ 2 Druga pochodna: Druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej. d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (-1 / (x-1) ^ 2) = - ((x-1) ^ 2 (d / dx1 ) -1 (d / dx (x-1) ^ 2)) / [(x-1) ^ 2] ^ 2 = - ((x-1) ^ 2 (0) -1 (2 Czytaj więcej »

Pytanie 1 Jeśli f (x) = (g (x)) / (h (x)) to przez Regułę Iloczynu f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) Więc jeśli f (x) = x / (x-1) to pierwsza pochodna f' (x) = ((1) (x-1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2), a druga pochodna to f '' (x) = 2x ^ -3 Pytanie 2 Jeśli f (x) = 2 / x można to zapisać ponownie jako f (x) = 2x ^ -1 i używając standardowych procedur do przyjmowania pochodnej f '(x) = -2x ^ -2 lub, jeśli wolisz f' (x) = - 2 / x ^ 2 Czytaj więcej »

Y ^ ('') = (2 * x (x ^ 2 - 24)) / ((16-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2)) Zacznij od obliczenia pierwszej pochodnej funkcji y = x * sqrt (16-x ^ 2) przy użyciu reguły produktu. Otrzymasz d / dx (y) = [d / dx (x)] * sqrt (16 - x ^ 2) + x * d / dx (sqrt (16 - x ^ 2)) Możesz rozróżnić d / dx (sqrt (16 -x ^ 2)), używając reguły łańcucha dla sqrt (u), z u = 16 -x ^ 2. d / dx (sqrt (u)) = d / (du) sqrt (u) * d / dx (u) d / dx (sqrt (u)) = 1/2 * 1 / sqrt (u) * d / dx (16-x ^ 2) d / dx (sqrt (16-x ^ 2)) = 1 / kolor (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) (2))) * 1 / sqrt (16-x ^ 2) * (-color (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) (2))) Czytaj więcej »

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Musimy znaleźć A, B, C takie, że 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) dla wszystkich x. Pomnóż obie strony przez x ^ 2 (2x-1), aby uzyskać 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Równania współczynników dają nam {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} A zatem mamy A = -2, B = -1, C = 4. Zastępując to w początkowym równaniu, otrzymujemy 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Teraz zintegrujmy termin przez termin int (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx, aby uzyskać 2ln | 2x-1 | -2l Czytaj więcej »

Int_0 ^ 6x ^ 3dx ~~ 324 Reguła Simpsona mówi, że int_b ^ af (x) dx może być aproksymowany przez h / 3 [y_0 + y_n + 4y_ (n = "nieparzyste") + 2y_ (n = "parzyste") h = (ba) / n = (6-0) / 6 = 6/6 = 1 int_0 ^ 6x ^ 3dx ~~ 1/3 [0 + 216 + 4 (1 + 27 + 125) +2 (8 + 64)] = [216 + 4 (153) +2 (72)] / 3 = [216 + 612 + 144] = 972/3 = 324 Czytaj więcej »

Jest zbieżny. Rozważmy serię sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, gdzie p> 1. W teście p ta seria jest zbieżna. Teraz 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p dla wszystkich wystarczająco dużych n, dopóki p jest wartością skończoną. Tak więc, przez bezpośredni test porównawczy, sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n zbiega się. W rzeczywistości wartość jest w przybliżeniu równa 2.2381813. Czytaj więcej »

Dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x Użyj różnicowania logarytmicznego. y = (sinx) ^ x lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) (Użyj właściwości ln) Rozróżnij implicite: (Użyj reguły produktu i ruel łańcucha) 1 / y dy / dx = 1 ln ( sinx) + x [1 / sinx cosx] Mamy więc: 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx Rozwiąż dla dy / dx mnożąc przez y = (sinx) ^ x, dy / dx = ( ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x Czytaj więcej »

= (10 (2x-5) ^ 4 * (x ^ 2 + 2) ^ 2 - (2x-5) ^ 5 * 4x (x ^ 2 + 2)) / (x ^ 2 + 2) ^ 4 f ' (x) = (f '(x) * g (x) - f (x) * g' (x)) / (g (x)) ^ 2 f '(x) = (((5 (2x-5) ) ^ 4 * 2) (x ^ 2 + 2) ^ 2) - (2x-5) ^ 5 * (2 (x ^ 2 + 2) * 2x)) / ((x ^ 2 + 2) ^ 2) ^ 2 = (10 (2x-5) ^ 4 * (x ^ 2 + 2) ^ 2 - (2x-5) ^ 5 * 4x (x ^ 2 + 2)) / (x ^ 2 + 2) ^ 4 Możesz zmniejszyć więcej, ale nudzisz rozwiązać to równanie, po prostu użyj metody algebraicznej. Czytaj więcej »

(dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy ) / (dx) = 1 / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) * sen (x ^ 2 + 2) * 2x + 2sen (x + 2) (dy ) / (dx) = (2xsen (x ^ 2 + 2) + 2sen (x + 2)) / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (anuluj2 (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2))) / (cancel2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) Czytaj więcej »

Wiemy, że seria Maclaurina e ^ x jest sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) Możemy również uzyskać tę serię za pomocą rozszerzenia Maclaurina f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) oraz fakt, że wszystkie pochodne e ^ x są nadal e ^ x i e ^ 0 = 1. Teraz wystarczy zastąpić powyższą serię na (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + suma (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Jeśli chcesz, aby indeks zaczynał się od i = 0, po prostu zastąp n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) Teraz po prostu oceń pierwsze Czytaj więcej »

Dy / dx = -0,54 Dla funkcji polarnej f (theta), dy / dx = (f '(theta) sintheta + f (theta) costheta) / (f' (theta) costheta-f (theta) sintheta) f ( theta) = theta-sec ^ 3theta + thetasin ^ 3theta f '(theta) = 1-3 (sec ^ 2theta) (d / dx [sectheta]) - sin ^ 3theta + 3thetasin ^ 2theta (d / dx [sintheta]) f '(theta) = 1-3sec ^ 3thetatantheta-sin ^ 3theta + 3thetasin ^ 2thetacostheta f' ((5pi) / 3) = 1-3sec ^ 3 ((5pi) / 3) tan ((5pi) / 3) - sin ^ 3 ((5pi) / 3) +3 ((5pi) / 3) sin ^ 2 ((5pi) / 3) cos ((5pi) / 3) ~~ -9,98 f ((5pi) / 3) = ((5pi) / 3) -sec ^ 3 ((5pi) / 3) + ((5pi) / 3) sin ^ 3 ((5pi) / 3) ~~ -6, Czytaj więcej »

Dy / dx = 10x (x ^ 2 + 1) ^ 4 Jeśli piszemy to jako: y = u ^ 5, możemy użyć reguły łańcucha: dy / dx = (dy) / (du) * (du) / ( dx) (dy) / (du) = 5u ^ 4 (du) / (dx) = 2x dy / dx = (dy) / (du) * (du) / (dx) = 10xu ^ 4 Ponowne wprowadzenie x ^ 2 + 1 daje nam: dy / dx = 10x (x ^ 2 + 1) ^ 4 Czytaj więcej »

Zobacz poniżej. Jeśli: y = lnx <=> e ^ y = x Użycie tej definicji z podaną funkcją: e ^ y = (sin (x + 3)) ^ 2 Różnicowanie niejawnie: e ^ ydy / dx = 2 (sin (x + 3) )) * cos (x + 3) Dzielenie przez e ^ y dy / dx = (2 (sin (x + 3)) * cos (x + 3)) / e ^ y dy / dx = (2 (sin (x +3)) * cos (x + 3)) / (sin ^ 2 (x + 3)) Anulowanie wspólnych czynników: dy / dx = (2 (anuluj (sin (x + 3))) * cos (x + 3 )) / (sin ^ cancel (2) (x + 3)) dy / dx = (2cos (x + 3)) / (sin (x + 3)) Mamy teraz pochodną i dlatego będziemy mogli obliczyć gradient w x = pi / 3 Podłączanie tej wartości: (2 cos ((pi / 3) +3)) / (sin ((pi / 3) Czytaj więcej »

Lim_ (xto0 ^ +) x ^ 4ln (x) = 0 f (x) = x ^ 4ln (x) [(x, f (x)), (1,0), (0,1, -2,30 * 10 ^ - 4), (0,01, -4,61 * 10 ^ -8), (0,001, -6,91 * 10 ^ -12)] Ponieważ x dąży do 0 z prawej strony, f (x) pozostaje po stronie ujemnej, gdy x < 1, ale same wartości zbliżają się do 0, gdy x-> 0 lim_ (xto0 ^ +) x ^ 4ln (x) = 0 wykres {x ^ 4ln (x) [-0,05 1, -0,1, 0,01]} Czytaj więcej »

Nachylenie stycznej do y przy x = 1/3 wynosi -8 y = x ^ 2 (3x + 1 / x ^ 3) = x ^ 2 (3x + x ^ (- 3)) dy / dx = x ^ 2 ( 3-3x ^ (- 4)) + 2x (3x + x ^ (- 3)) Reguła produktu = 3x ^ 2-3x ^ (- 2) + 6x ^ 2 + 2x ^ (- 2) = 9x ^ 2- x ^ (- 2) Nachylenie (m) stycznej do y przy x = 1/3 wynosi dy / dx przy x = 1/3 Zatem: m = 9 * (1/3) ^ 2 - (1/3 ) ^ (- 2) m = 1-9 = 8 Czytaj więcej »

Nachylenie wynosi 0. Minima (liczba mnoga „minimum”) gładkich krzywych występuje w punktach zwrotnych, które z definicji są również punktami stacjonarnymi. Są one nazywane stacjonarnymi, ponieważ w tych punktach funkcja gradientu jest równa 0 (więc funkcja nie „porusza się”, tj. Jest nieruchoma).Jeśli funkcja gradientu jest równa 0, to nachylenie linii stycznej w tym punkcie jest równe 0. Łatwym przykładem jest Y = x ^ 2. Ma minimum na początku, a także jest styczna do osi X w tym punkcie (który jest poziomy, tj. Nachylenie 0). Dzieje się tak dlatego, że dy / dx = 2x w tym przypadku, a gdy x = Czytaj więcej »

E ^ a * (a / 2) * (1 - a) „Możesz użyć szeregu Taylora i upuścić terminy wyższego rzędu w limicie„ ”dla„ x-> 0 ”.” x ^ y = exp (y * ln (x)) => (1 + x) ^ y = exp (y * ln (1 + x)) "i" ln (1 + x) = x - x ^ 2 / 2 + x ^ 3/3 - ... "i" exp (x) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + x ^ 4/24 + ... "Tak" exp (y * ln (1 + x)) = exp (y * (x - x ^ 2/2 + ...)) => (1 + x) ^ (a / x) = exp ((a / x) * ln (1 + x)) = exp ((a / x) * (x - x ^ 2/2 + x ^ 3/3 - ...)) = exp (a - a * x / 2 + a * x ^ 2/3 - ...) => (1 + ax) ^ (1 / x) = exp ((1 / x) * ln (1 + ax)) = exp ((1 / x) * (ax - ( ax) ^ 2/2 + (ax) ^ 3/3 - ...)) Czytaj więcej »

Użyj wzoru: Obszar = h / 2 (y_1 + y_n + 2 (y_2 + y_3 + ... + y_ (n-1))), aby uzyskać wynik: Powierzchnia = 4314/3145 ~ = 1,37 h to długość kroku We znaleźć długość kroku za pomocą następującego wzoru: h = (ba) / (n-1) a jest minimalną wartością x i b jest maksymalną wartością x. W naszym przypadku a = 0 i b = 6 n to liczba pasków. Stąd n = 4 => h = (6-0) / (4-1) = 2 Zatem wartości x wynoszą 0,2,4,6 „NB:” Począwszy od x = 0 dodajemy długość kroku h = 2, aby uzyskać następną wartość x do x = 6 Aby znaleźć y_1 do y_n (lub y_4), podłączamy każdą wartość x, aby uzyskać odpowiednią y Na przykład: aby uzyskać y_1, podłącz Czytaj więcej »

Odpowiedź jest minimalna w przedziale f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2, co nie jest właściwie wyborem, ale (c) jest dobrym przybliżeniem. f (x) = e ^ x} - 2e ^ x f '(x) = - e ^ x} - 2 e ^ x Ta pochodna jest wszędzie wyraźnie ujemna, więc funkcja maleje w przedziale. Jego minimalna wartość to f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2. Gdybym był kleistym (którym jestem), odpowiedziałbym Żaden z powyższych, ponieważ nie ma możliwości, aby transcendentalna ilość była równa jednej z tych racjonalnych wartości. Ale ulegamy kulturze zbliżenia i wyciągamy kalkulator, który mówi f (2) ok -14.6428, co jest wyborem (c) Czytaj więcej »

Nachylenie pionu wynosi 1/4, ale pochodna krzywej wynosi -1 / {2sqrt {x}}, która zawsze będzie ujemna, więc styczna do krzywej nigdy nie będzie prostopadła do y + 4x = 4. f (x) = 2 - x ^ {1/2} f '(x) = - 1/2 x ^ {- 1/2} = -1 / {2sqrt {x}} Podana linia to y = -4x + 4 ma nachylenie -4, więc jego prostopadłe mają ujemne nachylenie odwrotne, 1/4. Ustawiamy pochodną równą temu i rozwiązujemy: 1/4 = -1 / {2 sqrt {x}} sqrt {x} = -2 Nie ma rzeczywistego x, który by to spełniał, więc nie ma miejsca na krzywej, gdzie styczna jest prostopadła do y + 4x = 4. Czytaj więcej »

Zbiega się absolutnie. Użyj testu dla zbieżności absolutnej. Jeśli weźmiemy wartość bezwzględną pojęć, otrzymamy szereg 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... Jest to seria geometryczna wspólnego współczynnika 1/4. W ten sposób zbiega się. Od obu | a_n | zbiega się a_n zbiega się absolutnie. Mam nadzieję, że to pomoże! Czytaj więcej »

H = 1000 / (2pix) - x dla 31a, potrzebujesz wzoru na całkowitą powierzchnię walca. całkowita powierzchnia walca jest taka sama jak suma obu kołowych powierzchni (góra i dół) i zakrzywionej powierzchni. zakrzywiona powierzchnia może być traktowana jako prostokąt (jeśli miał być rozwinięty). długość tego prostokąta byłaby wysokością cylindra, a jego szerokość byłaby obwodem koła na górze lub na dole. obwód koła to 2pir. wysokość to h. zakrzywiona powierzchnia = 2pirh. obszar okręgu to pir ^ 2. obszar górnych i dolnych okręgów: 2pir ^ 2 całkowita powierzchnia walca wynosi 2pirh + 2pir ^ 2 lub 2pi Czytaj więcej »

Int cos (x) / (sin ^ 2 (x) + sin (x)) „d” x = ln | sin (x) / (sin (x) +1) | + C int cos (x) / (sin ^ 2 (x) + sin (x)) „d” x Zastępuje u = sin (x) i „d” u = cos (x) „d” x. Daje to = int ("d" u) / (u ^ 2 + u) = int ("d" u) / (u (u + 1)) Oddziel do ułamków częściowych od 1 / (u (u + 1 )) = 1 / u-1 / (u + 1): = int (1 / u-1 / (u + 1)) „d” u = ln | u | -ln | u + 1 | + C = ln | u / (u + 1) | + C Zastąpić z powrotem u = sin (x): = ln | sin (x) / (sin (x) +1) | + C Czytaj więcej »

Int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C Ponieważ łatwiej jest zajmuj się tylko jednym x pod pierwiastkiem kwadratowym, wypełniamy kwadrat: x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + kx ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + kk = -4 x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx Teraz musimy wykonać podstawienie trygonometryczne. Użyję hiperbolicznych funkcji wyzwalających (ponieważ całka sieczna zwykle nie jest zbyt ładna). Chcemy użyć następującej tożsamości: cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) Aby to zrobić, chcemy (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta). Możemy rozwią Czytaj więcej »

Jeśli 0 <x <e ^ (- 15/56) to f jest wklęsłe; jeśli x> e ^ (- 15/56) to f jest wklęsłe; x = e ^ (- 15/56) to punkt przegięcia (spadający) Aby przeanalizować wklęsłość i punkty przegięcia o podwójnie różniczkowalnej funkcji f, możemy zbadać dodatniość drugiej pochodnej. W rzeczywistości, jeśli x_0 jest punktem w domenie f, to: jeśli f '' (x_0)> 0, to f jest wklęsłe w sąsiedztwie x_0; jeśli f '' (x_0) <0, to f jest wklęsłe w sąsiedztwie x_0; jeśli f '' (x_0) = 0 i znak f '' na wystarczająco małym sąsiedztwie x_0 jest przeciwny do znaku f '' na wystarczająco mały Czytaj więcej »

Funkcja jest wklęsła, gdy druga pochodna jest dodatnia, jest wklęsła, gdy jest ujemna, i może być punkt przegięcia, gdy jest równy zero. y '= 18x ^ 2 + 54 y' '= 36x + 54 tak: y' '> 0rArrx> -54 / 36rArrx> -3/2. W (-3 / 2, + oo) wklęsło jest w górę, w (-oo, -3 / 2) wklęsło jest w dół, w x = -3 / 2 znajduje się punkt przegięcia. Czytaj więcej »

X = y = sqrt (a) x * y = a => x * y - a = 0 f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) „jest minimalne” „Możemy pracować z mnożnikiem Lagrange'a L: "f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * ya)" Wyprowadzanie wydajności: "{df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 {df} / {dL} = x * ya = 0 => y = a / x => { df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(po pomnożeniu przez x"! = "0)" => L = - sqrt (x) / (2 * a) => s Czytaj więcej »

1/4 „Możesz użyć rozszerzenia serii Taylora”. cos (x) = 1 - x ^ 2/2! + x ^ 4/4! - ... tan (x) = x + x ^ 3/3 + 2 x ^ 5/15 + ... => cos ^ 2 (x) = 1 - x ^ 2 + x ^ 4 (1/4 + 2/24) ... = 1 - x ^ 2 + x ^ 4/3 ... => tan (3x) = 3x + 9 x ^ 3 + ... => (x * cos ^ 2 (x) ) / (x + tan (3x)) = (x - x ^ 3 + x ^ 5/3 ...) / (4x + 9 x ^ 3 + ...) x-> 0 => "wyższe moce znikają "= (x - ...) / (4x + ...) = 1/4 Czytaj więcej »

1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C Rozpocznij przez faktoryzację mianownika: 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) Teraz możemy zrobić ułamki częściowe: 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x + 1) Możemy znaleźć A używając metody zatuszowania: A = 1 / ((tekst (////)) ( (-1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 Następnie możemy pomnożyć obie strony przez mianownik LHS: 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) Daje to następujące równania: 1/3 + B = 0 - Czytaj więcej »

Punkt (2, -3) nie leży na danej krzywej. Umieść współrzędne (2, -3) w podanym równaniu: LHS = 2 (16) (4) (81) +6 (8) +7 (9) = 10368 +48 +63 = 10479 = = 2703 Punkt (2, -3) nie leży na danej krzywej. Czytaj więcej »

9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2-y) * e ^ (- x) + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2- yx) + y - xy Rozróżniaj względem x. Pochodna wykładnicza jest sama, razy pochodna wykładnika. Pamiętaj, że gdy rozróżniasz coś zawierające y, reguła łańcucha daje ci współczynnik y '. 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy '-y'-1) + y' - (xy '+ y) 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy' -y'-1) + y '- xy'-y Rozwiąż teraz dla y'. Oto początek: 0 = 2yye ^ (y ^ 2-yx) -y'e ^ (y ^ 2-yx) -e ^ (y ^ 2-yx) + y '- xy'-y Uzyskaj wszystkie terminy mając y 'na lewej stronie. -2yy'e ^ (y ^ 2-y-x) + y' Czytaj więcej »

Zacznij od użycia właściwości dystrybucyjnej. Niech y = sqrtx (x - 4) Następnie y = xsqrtx - 4sqrtx = x ^ (3/2) - 4x ^ (1/2) Rozróżnij za pomocą reguły mocy. dy / dx = (3/2) x ^ (1/2) - 2x ^ (- 1/2) = (3/2) x ^ (1/2) - 2 / x ^ (1/2) = ( 3sqrtx / 2) - 2 / sqrtx Uzyskaj wspólny mianownik 2sqrtx, a otrzymasz odpowiedź. Czytaj więcej »

Int ^ ^ cos (x) „d” x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + CI = int e ^ x cos (x) „d” x Będziemy używaj integracji przez części, która stwierdza, że int u „d” v = uv-int v d ”u. Użyj całkowania przez części, z u = e ^ x, du = e ^ x „d” x, „d” v = cos (x) „d” x, a v = sin (x): I = e ^ xsin (x) -int ^ xsin (x) „d” x Ponownie użyj całkowania przez części do drugiej całki, z u = e ^ x, „d” u = e ^ x d ”x,” d "v = sin (x)" d "x, a v = -cos (x): I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int ^ xcos (x) d „x Teraz przypomnijmy, że zdefiniowaliśmy I = int e ^ x cos (x)„ d ”x. Powyższe równanie staje się następujące ( Czytaj więcej »

0 „To pytanie jest źle sformułowane, ponieważ„ 0.93969 ”jest wielomianem stopnia 0, który wykonuje zadanie.” „Kalkulator oblicza wartość cos (x) poprzez szereg Taylora„ ”. „Szereg Taylora cos (x) to:„ 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + ... ”Co musisz wiedzieć jest to, że kąt, który wypełniasz w tej serii, musi być w radianach. Więc 20 ° = "pi / 9 = 0.349 ..." rad. " „Aby mieć szybki zbieżny szereg | x | musi być mniejszy niż 1”, „preferuj mniej niż 0,5”. „Mamy szczęście, ponieważ tak jest. W innym przypadku„ musielibyśmy użyć tożsamości goniometrycznych, aby zmniejszyć wartość ”. Czytaj więcej »

Patrz poniżej: Pierwszym krokiem jest znalezienie pierwszej pochodnej f. f (x) = 6x-x ^ 2 f '(x) = 6-2x Stąd: f' (- 1) = 6 + 2 = 8 Wartość 8 jest taka, że jest to gradient f gdzie x = - 1 Jest to również gradient linii stycznej, która dotyka wykresu f w tym punkcie. Zatem nasza funkcja liniowa jest obecnie y = 8x. Musimy jednak również znaleźć punkt przecięcia z osią y, ale aby to zrobić, potrzebujemy również współrzędnej y punktu, w którym x = -1. Podłącz x = -1 do f. f (-1) = - 6- (1) = - 7 Więc punkt na linii stycznej to (-1, -7) Teraz, używając formuły gradientu, możemy znaleźć r& Czytaj więcej »

Dy / dx = -1.5 Najpierw znajdujemy d / dx każdego terminu. d / dx [xy ^ 2] -d / dx [(1-xy) ^ 2] = d / dx [C] d / dx [x] y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 ( 1-xy) d / dx [1-xy] = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (d / dx [1] -d / dx [xy]) = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- d / dx [x] y + d / dx [y] x) = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- y + d / dx [y] x) = 0 Reguła łańcucha mówi nam: d / dx = d / dy * dy / dx y ^ 2 + dy / dx d / dy [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- y + dy / dxd / dy [y] x) = 0 y ^ 2 + dy / dx 2yx-2 (1-xy) (- y + dy / dx x) = 0 dy / dx 2yx-2 (1-x) dy / dx x = -y ^ 2-2y (1-xy) dy / dx (2yx-2x (1-x)) = - y ^ 2- Czytaj więcej »

„Patrz wyjaśnienie” a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n "Zauważ, że możesz tutaj łatwiej zastosować ograniczenie Eulera:" lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2.7182818 .... => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754,79 .... "Więc sekwencja rośnie bardzo duża, ale nie nieskończenie duży, więc „„ zbiega się ”. Czytaj więcej »

„Porównaj to z„ sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2,7182818 ... ”Każdy termin jest równy lub mniejszy niż„ sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2,7182818 ... "Wszystkie terminy są dodatnie, więc suma S serii jest pomiędzy" 0 <S <e = 2,7182818 .... "Więc seria jest absolutnie zbieżny." Czytaj więcej »

Patrz poniżej Pierwszy krok to znalezienie drugiej pochodnej funkcji f (x) = 2x ^ 4-e ^ (8x) f '(x) = 8x ^ 3-8e ^ (8x) f' '(x) = 24x ^ 2-64e ^ (8x) Następnie musimy znaleźć wartość x, gdzie: f '' (x) = 0 (użyłem kalkulatora do rozwiązania tego problemu) x = -0,3706965 Więc dla danej wartości x druga pochodna to 0. Aby jednak był punktem przegięcia, musi istnieć zmiana znaku wokół tej wartości x. Dlatego możemy przypisać wartości do funkcji i zobaczyć, co się stanie: f (-1) = 24-64e ^ (- 8) zdecydowanie pozytywne, ponieważ 64e ^ (- 8) jest bardzo małe. f (1) = 24-64e ^ (8) zdecydowanie ujemne, ponie Czytaj więcej »

V = (2pi) / 15 Najpierw potrzebujemy punktów, w których spotykają się x i x ^ 2. x = x ^ 2 x ^ xx = 0 x (x-1) = 0 x = 0 lub 1 Więc nasze granice to 0 i 1. Kiedy mamy dwie funkcje dla wolumenu, używamy: V = piint_a ^ b (f (x) ^ 2-g (x) ^ 2) dx V = piint_0 ^ 1 (x ^ 2-x ^ 4) dx V = pi [x ^ 3/3-x ^ 5/5] _0 ^ 1 V = pi (1 / 3-1 / 5) = (2pi) / 15 Czytaj więcej »

Y '= (2x-3) (3x ^ 2 + 4) +2 (x + 5) (3x ^ 2 + 4) + 6x (2x-3) (x + 5) y' = 24x ^ 3 + 63x ^ 2-74x + 28 Jeśli y = uvw, gdzie u, v i w są wszystkimi funkcjami x, to: y '= uvw' + uv'w + u'vw (można to znaleźć, wykonując regułę łańcuchową z dwoma funkcje podstawione jako jeden, tj. tworzenie uv = z) u = x + 5 u '= 1 v = 2x-3 v' = 2 w = 3x ^ 2 + 4 w '= 6x y' = (2x-3) (3x ^ 2 + 4) +2 (x + 5) (3x ^ 2 + 4) + 6x (2x-3) (x + 5) y '= 6x ^ 3 + 8x-9x ^ 2-12 + 6x ^ 3 + 8x + 30x ^ 2 + 40 + 12x ^ 3 + 60x ^ 2-18x ^ 2-90x y '= 24x ^ 3 + 63x ^ 2-74x + 28 Czytaj więcej »

Dy / dx = - (yx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1) / (xy ^ -2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1 / 2) + y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) W porządku, to jest bardzo długi. Zliczę każdy krok, aby to ułatwić, a także nie połączyłem kroków, żebyś wiedział, co się dzieje. Zacznij od: 2xy ^ -1 = y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) -x Najpierw bierzemy d / dx każdego terminu: 2. d / dx [2xy ^ -1] = d / dx [y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 3. d / dx [2x] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + yd / dx [(x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 4. 2y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + (y (x Czytaj więcej »

Y = 11,2x-20,2 Lub y = (5e ^ (3/2)) / 2x-2e ^ (3/2) y = e ^ (3/2) ((5x) / 2-2) Mamy: f (x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (1/2) f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [x ^ 2e ^ x] f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) f' (x) = ((2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2)) / 2 f '(x) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2 (x ^ 2e ^ x) ^ (1 / 2)) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2sqrt (x ^ 2e ^ x)) f '(3) = (2 (3) e ^ 3 + 3 ^ 2e ^ 3) / (2sqrt (3 ^ 2e ^ 3)) = (5e ^ (3/2)) / 2 ~~ 11.2 y = mx + cf (3) = sqrt (9e ^ 3) = 3e ^ (3/2) ~~ 13,4 13,4 = 11,2 (3) + cc = 13,4-11,2 (3) = - 20,2 y = 11,2x-20,2 Lub y = Czytaj więcej »

F '(x) = (5e ^ x + sec ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) Dla f (x) = (5e ^ x + tanx) (x ^ 2-2x), znajdujemy f '(x), wykonując: f' (x) = d / dx [5e ^ x + tanx] (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) d / dx [x ^ 2-2x] f '(x) = (5e ^ x + sec ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) Czytaj więcej »

F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} Spójrzmy na niektóre szczegóły. f (x) = arctanx f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} Pamiętaj, że geometryczna seria mocy 1 / {1-x} = sum_ { n = 0} ^ infty x ^ n przez zastąpienie x przez -x ^ 2, Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} So, f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Przez całkowanie, f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx przez umieszczenie znaku całkowania wewnątrz sumy, = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ nx ^ {2n} dx według reg Czytaj więcej »

Lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 Szukamy: L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) Zarówno licznik, jak i mianownik 2 rarr 0 jako x rarr 0. limit L (jeśli istnieje) ma nieokreśloną formę 0/0 iw konsekwencji możemy zastosować regułę L'Hôpital, aby uzyskać: L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin ( t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) Teraz, używając podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego: d / dx int_0 ^ x grzech (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) I, d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) I tak: Czytaj więcej »

:. F '(x) = (sqrtsinx) (cosx). F (x) = int_0 ^ sinx sqrttdt ponieważ, intsqrttdt = intt ^ (1/2) dt = t ^ (1/2 + 1) / (1/2 + 1) = 2 / 3t ^ (3/2) + c,:. F (x) = [2 / 3t ^ (3/2)] _ 0 ^ sinx:. F (x) = 2 / 3sin ^ (3/2) x:. F '(x) = 2/3 [{(sinx)} ^ (3/2)] „Używanie reguły łańcuchowej, F' (x) = 2/3 [3/2 (sinx) ^ (3 / 2- 1)] d / dx (sinx) = (sinx) ^ (1/2) (cosx):. F '(x) = (sqrtsinx) (cosx). Ciesz się matematyką! Czytaj więcej »

12 Możemy rozszerzyć sześcian: (2 + h) ^ 3 = 8 + 12h + 6h ^ 2 + h ^ 3 Podłączając to, lim_ (hrightarrow 0) (8 + 12h + 6h ^ 2 + h ^ 3-8) / h = lim_ (hrightarrow 0) (12h + 6h ^ 2 + h ^ 3) / h = lim_ (hrightarrow 0) (12 + 6h + h ^ 2) = 12. Czytaj więcej »

Frak {1} {2} Limit przedstawia niezdefiniowaną formę 0/0. W tym przypadku możesz użyć twierdzenia de l'hospital, które stwierdza, że frac {f (x)} {g (x)} = lim {f '(x)} {g' (x)} pochodną licznika jest frac {1} {2sqrt (1 + h)} Podczas gdy pochodną mianownika jest po prostu 1. Więc, __ {x 0} frak {f '(x)} {g' (x)} = lim_ {x do 0} frak {frak {1} {2sqrt (1 + h)}} {1} = lim_ {x do 0} frak {1} {2sqrt ( 1 + h)} A zatem po prostu frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} Czytaj więcej »

Zacznij od uwzględnienia licznika: = lim_ (x-> 2) (((x + 3) (x-2)) / (x-2)) Widzimy, że termin (x-2) zostanie anulowany. Dlatego ten limit jest równoważny: = lim_ (x-> 2) (x + 3) Teraz powinno być łatwo zobaczyć, co limit ten ocenia: = 5 Przyjrzyjmy się wykresowi, jak ta funkcja będzie wyglądać , aby zobaczyć, czy nasza odpowiedź się zgadza: „dziura” przy x = 2 wynika z (x - 2) terminu w mianowniku. Gdy x = 2, ten termin staje się 0, a następuje podział przez zero, co powoduje, że funkcja jest niezdefiniowana w x = 2. Jednak funkcja jest dobrze zdefiniowana wszędzie indziej, nawet gdy osiąga bardzo blisko x = 2. Czytaj więcej »

= 3/5 Wyjaśnienie, Korzystanie z odnajdywania limitów Algebraicznie, = lim_ (x -> - 4) (x ^ 2 + 5x + 4) / (x ^ 2 + 3x-4), jeśli podłączymy x = -4, otrzymamy 0/0 forma = lim_ (x -> - 4) (x ^ 2 + 4x + x + 4) / (x ^ 2 + 4x-x-4) = lim_ (x -> - 4) (x (x + 4) +1 (x + 4)) / (x (x + 4) -1 (x + 4)) = lim_ (x -> - 4) ((x + 4) (x + 1)) / (( x + 4) (x-1)) = lim_ (x -> - 4) ((x + 1)) / ((x-1)) = (- 3) / - 5 = 3/5 Czytaj więcej »

Pierwszy czynnik mianownik ... (x ^ 3-64) / ((x-4) (x-4)) Współczynnik licznika ... ((x-4) (x ^ 2 + 4x + 16)) / ((x-4) (x-4)) Podziel licznik i mianownik przez x-4 ... (x ^ 2 + 4x + 16) / (x-4) Zamień wszystkie x na zbliżający się limit (4) ... ((4) ^ 2 + 4 (4) +16) / ((4) -4) Połącz terminy ... 48/0 Limit zbliża się do nieskończoności, ponieważ podział przez 0 jest nieokreślony, ale zbliża się również podział przez 0 nieskończoność. Czytaj więcej »

Zmniejsza się. Zacznij od wyprowadzenia funkcji f, jako funkcji pochodnej, f 'opisuje szybkość zmiany f. f (x) = - 4x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x-1 f '(x) = - 12x ^ 2 + 8x + 2 Następnie podłącz funkcję x = 2 do funkcji. f '(2) = - 12 (4) +8 (2) +2 f' (2) = - 48 + 18 f´ (2) = - 30 Stąd, ponieważ wartość pochodnej jest ujemna, szybkość chwilowa zmiana w tym punkcie jest ujemna, więc funkcja f maleje w tym przypadku. Czytaj więcej »

F '(x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) ((1) / ((x + 4))). (((x ^ 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4)) - (2x ^ 2 + 4x)) / ((x ^ 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4)))) f '(x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) (1 / ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4)))). (( (1) (ln (x ^ 2 + 4)) - (x + 4) (1) / ((x ^ 2 + 4)) (2x)) / ((ln (x ^ 2 + 4))) ^ 2) f '(x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) (ln (x ^ 2 + 4) / ((x + 4)) ) ((ln (x ^ 2 + 4) - (2x ^ 2 + 4x) / ((x ^ 2 + 4))) / ((ln (x ^ 2 + 4))) ^ 2) f '( x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) (anuluj (ln (x ^ 2 + 4)) / ((x + 4))). (((x ^ 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4)) - (2x ^ 2 + 4x)) / Czytaj więcej »

W przypadku, gdy miałeś na myśli „przetestuj zbieżność serii: sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!)” Odpowiedź brzmi: kolor (niebieski) „zbieżny” Aby się dowiedzieć, możemy użyć testu proporcji.Oznacza to, że jeśli „U” _ „n” jest n ^ „th” terminem tej serii, to jeśli, pokażemy, że lim_ (nrarr + oo) abs („U” _ („n” +1) / „U” „_n) <1 oznacza, że szereg zbiega się W drugim, jeśli lim_ (nrarr + oo) abs ((„ U ”_ („ n ”+1)) /„ U ”_n)> 1, oznacza to, że seria rozbiega się W naszym przypadku „U” _n = 1 / ((2n + 1)!) „” I „U” _ („n” +1) = 1 / ([2 (n + 1) +1]!) = 1 / ([2n + 3]!) Stąd „U” _ („n” +1) / „U” _n = 1 / ((2n + 3)!) &# Czytaj więcej »

Ln (abs (x / (x + 1))) + C Najpierw obliczamy 2: int1 / (x ^ 2 + x) dx Następnie rozkładamy czynnik mianownika: int1 / (x (x + 1)) dx Musimy podziel to na częściowe frakcje: 1 = A (x + 1) + Bx Używając x = 0 daje nam: A = 1 Wtedy użycie x = -1 daje nam: 1 = -B Używając tego otrzymujemy: int1 / x-1 / (x + 1) dx int1 / xdx-int / (x + 1) dx ln (abs (x)) - ln (abs (x + 1 _) + C ln (abs (x / (x + 1))) + do Czytaj więcej »

„Patrz wyjaśnienie” a = {dv} / dt => v = int a (t) dt = 16 t ^ 3 + t ^ 2 + 6 t + C v (0) = v_0 = -3 => C = -3 => v = 16 t ^ 3 + t ^ 2 + 6 t - 3 v = {ds} / dt "(v = prędkość) => s = int v (t) dt = 4 t ^ 4 + t ^ 3 / 3 + 3 t ^ 2 - 3 t + C s (0) = s_0 = 1 => C = 1 => s (t) = 4 t ^ 4 + t ^ 3/3 + 3 t ^ 2 - 3 t + 1 Czytaj więcej »

Pochodna to 2Cos (x) - (1 / Cos ^ 2 (x)) - patrz poniżej, jak to zrobić. Jeśli f (x) = 2Sinx-Tan (x) Dla sinusowej części funkcji pochodna jest po prostu: 2Cos (x) Jednak Tan (x) jest nieco bardziej skomplikowany - musisz użyć reguły ilorazu. Przypomnij sobie, że Tan (x) = (Sin (x) / Cos (x)) Możemy więc użyć reguły ilorazu iff (x) = (Sin (x) / Cos (x)) Następnie f '(x) = (( Cos ^ 2 (x) - (- Sin ^ 2 (x))) / (Cos ^ 2 (x))) Sin ^ 2 (x) + Cos ^ 2 (x) = 1 f '(x) = 1 / (Cos ^ 2 (x)) Tak więc pełna funkcja staje się f '(x) = 2Cos (x) - (1 / Cos ^ 2 (x)) Lub f' (x) = 2Cos (x) -Sec ^ 2 ( x) Czytaj więcej »

W większości przypadków istnieją dwa rodzaje funkcji, które mają poziome asymptoty. Funkcje w postaci ilorazu, których mianowniki są większe niż liczniki, gdy x jest duży dodatni lub duży ujemny. np.) f (x) = {2x + 3} / {x ^ 2 + 1} (Jak widać, licznik jest funkcją liniową, rośnie znacznie wolniej niż mianownik, który jest funkcją kwadratową.) lim_ {x do pm infty} {2x + 3} / {x ^ 2 + 1} dzieląc licznik i mianownik przez x ^ 2, = lim_ {x do pm infty} {2 / x + 3 / x ^ 2} / { 1 + 1 / x ^ 2} = {0 + 0} / {1 + 0} = 0, co oznacza, że y = 0 jest poziomą asymptotą f. Funkcja w postaci ilorazu, którego liczn Czytaj więcej »

Pochodna to 3sqrt (x) / 2 - cot (x) csc (x) Pochodna danej funkcji jest sumą pochodnych x ^ (3/2) i csc (x). Zauważ, że sqrt (x) ^ 3 = x ^ (3/2) Przez Regułę Mocy pochodna pierwszego jest: 3/2 xx x ^ (3/2 -1) = 3sqrt (x) / 2 Pochodna of csx (x) is -cot (x) csc (x) Zatem pochodną danej funkcji jest 3sqrt (x) / 2 - cot (x) csc (x). Czytaj więcej »

Inte ^ (4t ^ 2-t) dt = (e ^ (4x ^ 2-x)) / (8x-1) -e ^ (33) / 23 Be f (x) = e ^ (4t ^ 2-t ) twoja funkcja. Aby zintegrować tę funkcję, będziesz potrzebował jej prymitywnego F (x) F (x) = (e ^ (4t ^ 2-t)) / (8t-1) + kz k stałą. Integracja e ^ (4t ^ 2-t) na [3; x] jest obliczana w następujący sposób: inte ^ (4t ^ 2-t) dt = F (x) -F (3) = (e ^ (4x ^ 2-x)) / (8x-1) + k - ((e ^ (4cdot3 ^ 2-3)) / (8cdot3-1) + k) = (e ^ (4x ^ 2-x)) / (8x -1) -e ^ (33) / 23 Czytaj więcej »

Extrema dla y = sin (x) cos (x) to x = pi / 4 + npi / 2 z n względną liczbą całkowitą Be f (x) funkcja reprezentująca zmienność y z repsect do x. Be f '(x) pochodna f (x). f '(a) jest nachyleniem krzywej f (x) w punkcie x = a. Gdy nachylenie jest dodatnie, krzywa wzrasta. Gdy nachylenie jest ujemne, krzywa maleje. Gdy nachylenie jest zerowe, krzywa pozostaje na tej samej wartości. Kiedy krzywa osiągnie ekstremum, przestanie rosnąć / maleć i zacznie spadać / wzrastać. Innymi słowy, nachylenie będzie przechodzić od wartości dodatniej do ujemnej - lub ujemnej do dodatniej - przez wartość zerową. Dlatego, jeśli szukasz Czytaj więcej »

4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C Więc najpierw napiszemy to: (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x +2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 Dodatkowo dodajemy: (6x ^ 2 + 13x + 6 ) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2+ (x + 2) (B (x + 1) + C) Użycie x = -2 daje nam: 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 A = 4 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) Następnie użycie x = -1 daje nam: 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = CC = -1 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 ( Czytaj więcej »

Dy / dx = ((e ^ (x-2y)) ^ 2-y) / (2 (e ^ (x-2y)) ^ 2 + xy) Możemy zapisać to jako: 2yx-y ^ 2 = (e ^ (x-2y)) ^ 2 Teraz bierzemy d / dx każdego terminu: d / dx [2yx] -d / dx [y ^ 2] = d / dx [(e ^ (x-2y)) ^ 2 ] 2yd / dx [x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) d / dx [e ^ (x-2y)] 2yd / dx [ x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) d / dx [x-2y] e ^ (x-2y) 2yd / dx [x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) e ^ (x-2y) (d / dx [x] -d / dx [2y]) 2y + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) ^ 2 (1-d / dx [2y]) Korzystając z reguły łańcucha, którą otrzymujemy: d / dx = dy / dx * d / dy 2y Czytaj więcej »

Pod warunkiem, że wykres jest odległością w funkcji czasu, nachylenie linii stycznej do funkcji w danym punkcie reprezentuje prędkość chwilową w tym punkcie. Aby uzyskać wyobrażenie o tym zboczu, należy użyć limitów. Przykładowo, załóżmy, że dana jest funkcja odległości x = f (t), a ktoś chce znaleźć chwilową prędkość lub szybkość zmiany odległości w punkcie p_0 = (t_0, f (t_0)), to pomaga najpierw zbadaj inny pobliski punkt, p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)), gdzie a jest jakąś arbitralnie małą stałą. Nachylenie linii siecznej przechodzącej przez wykres w tych punktach wynosi: [f (t_0 + a) -f (t_0)] / a Gdy p_1 zbliż Czytaj więcej »