Rachunek Różniczkowy

Powiedziałbym, że funkcja jest nieciągła na a, jeśli jest ciągła w pobliżu a (w otwartym przedziale zawierającym a), ale nie w a. Ale istnieją inne definicje w użyciu. Funkcja f jest ciągła w liczbie a wtedy i tylko wtedy, gdy: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Wymaga to, aby: 1 "" f (a) musiało istnieć. (a jest w domenie f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) musi istnieć 3 Liczby w 1 i 2 muszą być równe. W najogólniejszym znaczeniu: jeśli f nie jest ciągłe w punkcie a, to f jest nieciągłe w punkcie a. Niektórzy powiedzą, że f jest nieciągłe w przypadku, gdy f nie jest ciągłe, a Inne użyją „nieciągłego”, Czytaj więcej »

Pi / 4 Długość łuku f (x), x w [ab] wynosi: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Ponieważ mamy tylko y = 0, możemy po prostu przyjąć długość s prostej między 0 do pi / 4, która jest pi / 4- 0 = pi / 4 Czytaj więcej »

Jest (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Metoda f (x) = sin ^ 7 (x) Bardzo przydatne jest ponowne zapisanie tego jako f (x) = (sin (x)) ^ 7 ponieważ daje to jasno do zrozumienia, że mamy do czynienia z funkcją mocy 7 ^ (th). Użyj reguły mocy i reguły łańcucha (ta kombinacja jest często nazywana uogólnioną zasadą mocy). Dla f (x) = (g (x)) ^ n, pochodna to f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), W innym zapisie d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) W obu przypadkach, dla twojego pytania f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) Możesz napisać f' (x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) W x = - pi / 3, mamy f '(- pi / Czytaj więcej »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 Wiemy, że int1 / xdx = lnx + C, więc: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Dlatego f ( x) = ln (x + 3) + C. Otrzymujemy warunek początkowy f (2) = 1. Dokonując niezbędnych podstawień, mamy: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C Możemy teraz przepisać f (x) jako f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, i to jest nasza ostateczna odpowiedź. Jeśli chcesz, możesz użyć następującej właściwości dziennika naturalnego, aby uprościć: lna-lnb = ln (a / b) Stosując to do ln (x + 3) -ln5, otrzymujemy ln ((x + 3) / 5) , więc możemy dalej wyrazić naszą odpowiedź jako f (x) = ln ((x + 3) / 5) +1. Czytaj więcej »

Ln (x / 2) +1> Pochodna lnx = 1 / x stąd anty-pochodna 1 / x „jest” lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c Aby znaleźć c, użyj f ( 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2 używając • lnx-lny = ln (x / y) ", aby uprościć" rArr int1 / x dx = ln ( x / 2) +1 Czytaj więcej »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Integracja f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 umożliwia stałą integrację ( c) do znalezienia przez ocenę dla x = 2, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Czytaj więcej »

Znalazłem: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Rozwiązujemy całkę nieoznaczoną: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c, a następnie używamy naszego warunku, aby znaleźć c: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c tak: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 i ostatecznie: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Czytaj więcej »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Podkładanie w 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Ponieważ f (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 Czytaj więcej »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 używamy integracji przez części f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx w tym przypadku u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Czytaj więcej »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Użyj u ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int ( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Wprowadzenie u = sqrt (1 + x ^ 2) z powrotem w daje: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2 Czytaj więcej »

(sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13.0,0.0768 ^ c) Dla danego zestawu współrzędnych (x, y), (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13,0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0,0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0.0768 ^ c) Czytaj więcej »

Nie można na to odpowiedzieć bez kontekstu. Oto niektóre zastosowania matematyki. Zbiór ma nieskończoną liczność, jeśli można go zmapować jeden na jeden w odpowiednim podzbiorze samego siebie. To nie jest użycie nieskończoności w rachunku różniczkowym. W rachunku różniczkowym używamy „nieskończoności” na 3 sposoby. Notacja interwału: Symbole oo (odpowiednio -oo) są używane do wskazania, że przedział nie ma prawego (odpowiednio lewego) punktu końcowego. Interwał (2, oo) jest taki sam jak zbiór x Nieskończone granice Jeśli limit nie istnieje, ponieważ gdy x zbliża się do a, wartości f (x) wzrastają Czytaj więcej »

Prędkość chwilowa jest prędkością, przy której obiekt przemieszcza się dokładnie w określonym momencie. Jeśli podróżuję na północ z dokładnością 10 m / s przez dokładnie dziesięć sekund, a następnie skręcam na zachód i podróżuję dokładnie 5 m / s przez kolejne dziesięć sekund, moja średnia prędkość wynosi około 5,59 m / s w (z grubsza) kierunku północ-zachód. Jednak moja chwilowa prędkość jest moją prędkością w dowolnym punkcie: dokładnie pięć sekund w mojej podróży, moja chwilowa prędkość wynosi 10 m / s na północ; Dokładnie piętnaście sekund to 5 m / s na zachód. Czytaj więcej »

Podzielmy przedział [a, b] na n podprzedziałów o równych długościach. [a, b] do {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, gdzie a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Możemy określić przybliżoną całkę int_a ^ bf (x) dx przez regułę trapezową T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n} Czytaj więcej »

Reguła L'hopital jest używana głównie do znajdowania granicy jako x-> a funkcji postaci f (x) / g (x), gdy granice f i g na a są takie, że f (a) / g (a) wyniki w nieokreślonej formie, np. 0/0 lub oo / oo. W takich przypadkach można przyjąć granicę pochodnych tych funkcji jako x-> a. W ten sposób można obliczyć lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)), która będzie równa granicy funkcji początkowej. Jako przykład funkcji, w której może to być przydatne, rozważ funkcję sin (x) / x. W tym przypadku f (x) = sin (x), g (x) = x. Jako x-> 0, sin (x) -> 0 i x -> 0. Zatem lim_ (x-> Czytaj więcej »

L'Hopital's Rule Jeśli {(lim_ {x do a} f (x) = 0 i lim_ {x do a} g (x) = 0), (lub), (lim_ {x do a} f (x) = pm infty i lim_ {x do a} g (x) = pm infty):} następnie lim_ {x do a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x do a} {f ”( x)} / {g '(x)}. Przykład 1 (0/0) lim_ {x do 0} {sinx} / x = lim_ {x do 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Przykład 2 (infty / infty) lim_ {x do infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = 0 Mam nadzieję, że to było pomocne. Czytaj więcej »

X = -4 i -8/5 Zatem asymptota pionowa jest linią rozciągającą się pionowo do nieskończoności. Jeśli zauważymy, oznacza to, że współrzędna y krzywej znacznie osiąga Nieskończoność. Wiemy, że nieskończoność = 1/0 Więc, w porównaniu z f (x), oznacza to, że mianownik f (x) powinien wynosić zero. Stąd (5x + 8) (x + 4) = 0 Jest to równanie kwadratowe, którego pierwiastki są -4 i -8/5. Stąd przy x = -4, -8/5 mamy pionowe asymptoty Czytaj więcej »

Sec (5x) tan (5x) * 5 Pochodna sec (x) to sec (x) tan (x). Ponieważ jednak kąt wynosi 5x, a nie tylko x, używamy reguły łańcucha. Tak więc pomnożymy ponownie przez pochodną 5x, która wynosi 5. To daje nam naszą ostateczną odpowiedź jako sec (5x) tan (5x) * 5 Nadzieja, która pomogła! Czytaj więcej »

Jeśli wolisz notację Leibniza, druga pochodna jest oznaczona (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Przykład: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Jeśli podoba Ci się notacja liczb pierwszych, to druga pochodna jest oznaczona dwoma pierwszymi znakami, w przeciwieństwie do jednego znaku z pierwszym pochodne: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Podobnie, jeśli funkcja znajduje się w notacji funkcji: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 Most ludzie są zaznajomieni z obydwoma notacjami, więc zwykle nie ma znaczenia, który z nich wybierzesz, o ile ludzie będą mogli zrozumieć, co piszesz. Osobiście wolę zapis Leibni Czytaj więcej »

Funkcja wymierna znajduje się tam, gdzie jest x pod paskiem ułamkowym. Część pod paskiem nazywana jest mianownikiem. To nakłada ograniczenia na domenę x, ponieważ mianownik może nie działać w następujący sposób: 0 Prosty przykład: y = 1 / x domena: x! = 0 To również definiuje pionową asymptotę x = 0, ponieważ możesz uczynić x tak bliskim do 0, jak chcesz, ale nigdy nie osiągaj tego. Ma to znaczenie, czy przesuwasz się w kierunku 0 od dodatniej strony z negatywu (patrz wykres). Mówimy lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo i lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo Więc jest wykres nieciągłości {1 / x [-16.02, 16.01, -8.01, 8.01]} Z Czytaj więcej »

F '(x) = 72x-18 Ogólnie reguła produktu stanowi, że jeśli f (x) = g (x) h (x) z g (x) i h (x) niektóre funkcje x, to f' ( x) = g '(x) h (x) + g (x) h' (x). W tym przypadku g (x) = 6x-4 i h (x) = 6x + 1, więc g '(x) = 6 i h' (x) = 6. Dlatego f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Możemy to sprawdzić, opracowując najpierw produkt g i h, a następnie różnicując. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, więc f '(x) = 72x-18. Czytaj więcej »

Absolutna ekstrema funkcji w zamkniętym przedziale [a, b] może być ekstremem lokalnym w tym przedziale lub punktami, których ascissami są a lub b. Znajdźmy więc ekstrema lokalne: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0 jeśli -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Więc nasza funkcja maleje w [-2, -1] i w (1,2] i rośnie (-1,1), a więc punkt A (-1-1) jest lokalnym minimum i punktem B (1,1) to maksimum lokalne, teraz znajdźmy rzędną punktów w ekstremie przedziału: y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4 / 5) y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) Czytaj więcej »

Punkt minimalny w (1 / e, -1 / e) podany f (x) = x * ln x otrzymuje pierwszą pochodną f '(x), a następnie równa się zero. f '(x) = x * (1 / x) + ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e Rozwiązywanie dla f (x) przy x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e więc punkt (1 / e , -1 / e) znajduje się w czwartym kwadrancie, który jest punktem minimalnym. Czytaj więcej »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Przepiszmy to jako: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'Teraz musimy wyprowadzić z na zewnątrz do wewnątrz za pomocą zasady łańcucha. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Tutaj otrzymaliśmy pochodną produktu 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (ln (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Wystarczy użyć podstawowej algebry, aby uzyskać wersję uproszczoną: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] I otrzymujemy rozwiązanie: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Przy okazji możesz nawet przepisać problem począ Czytaj więcej »

Funkcja odległości to: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Zmierzmy to. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Ponieważ antivivative jest zasadniczo całka nieokreślona, staje się nieskończoną sumą nieskończenie małej dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx która jest formułą długości łuku każdej funkcji, którą można w łatwy sposób zintegrować po manipulacji. Czytaj więcej »

Uważam, że łatwiej jest myśleć o tym, patrząc najpierw na pochodną. Mam na myśli: co po zróżnicowaniu spowodowałoby stałą? Oczywiście zmienna pierwszego stopnia. Na przykład, jeśli twoje różnicowanie skutkowało f '(x) = 5, oczywiste jest, że pierwotna zmienna to F (x) = 5x Zatem, pierwotna stała jest razy razy dana zmienna (czy to x, y, itd. .) Moglibyśmy to ująć w sposób matematyczny: intcdx <=> cx Zauważ, że c mutiping 1 w integral: intcolor (zielony) (1) * cdx <=> cx Oznacza to, że zmienna pierwszego stopnia jest zróżnicowana: f (x ) = x ^ kolor (zielony) (1), a następnie f '(x) = Czytaj więcej »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) jednostek. > r = 3 / 4the r ^ 2 = 9 / 16the ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength podaje się przez: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16the ^ 2 + 9/16) d theta Uprość: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Z symetrii: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Zastosuj podstawienie theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Jest to znana całka: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Odwróć podstawienie: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Wstaw granice integracji: L = 3 / 4pisqrt Czytaj więcej »

Ok. 27.879 Jest to metoda zarysowa. Grind niektórych prac został wykonany przez komputer. Długość łuku s = int kropka s dt i kropka s = sqrt (vec v * vec v) Teraz, dla vec r = 4 theta kapelusz r vec v = kropka r kapelusz r + r kropka theta kapelusz theta = 4 kropka theta kapelusz r + 4 theta dot theta kapelusz theta = 4 kropka theta (kapelusz r + theta kapelusz theta) Więc kropka s = 4 kropka theta sqrt (1 + theta ^ 2) Długość łuku s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 ) sqrt (1 + theta ^ 2) krop theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) ^ (p Czytaj więcej »

Długość łuku ~~ 2.42533 (5dp) Długość łuku jest ujemna ze względu na to, że dolna granica 1 jest większa niż górna granica ln2 Mamy funkcję wektora parametrycznego, podaną przez: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Aby obliczyć długość łuku, będziemy potrzebować pochodnej wektora, którą możemy obliczyć za pomocą reguły produktu: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Następnie obliczamy wielkość wektora pochodnego: | bb Czytaj więcej »

Sqrt (3) Szukamy długości łuku funkcji wektorowej: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> dla t w [1,2] Które możemy łatwo oszacować używając: L = int_alpha ^ beta bb (ul (r ') (t)) || dt Więc obliczamy pochodną, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> W ten sposób zyskujemy długość łuku: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) d = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Ten trywialny wynik nie powinien być zaskoczeniem, ponieważ podane pierwotne równanie jest równaniem prostej. Czytaj więcej »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) W celu obliczenia tej objętości będziemy w pewnym sensie wycinać ją w (nieskończenie cienkie) plasterki. Wyobrażamy sobie region, aby pomóc nam w tym, załączyłem wykres, w którym region jest częścią pod krzywą. Zauważamy, że y = x ^ 2-1 przecina linię x = 5, gdzie y = 24 i że przecina linię y = 0, gdzie x = 1 wykres {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } Podczas cięcia tego obszaru w poziomych plasterkach z wysokością dy (bardzo mała wysokość). Długość tych plasterków zależy w dużym stopniu od współrzędnej y. aby obliczyć tę długość musimy znać odległość od pun Czytaj więcej »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Pomnóż pierwiastek sześcienny t w nawiasach, otrzymamy y = (t ^ (2 + 1 / 3)) + 4 * t ^ (1/3) To daje nam y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) Przy różnicowaniu otrzymujemy dy / dx = (7 * t ^ (4 / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Który daje, dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ ( 2/3) Czytaj więcej »

98 Średnia wartość f na [a, b] wynosi 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Dla tego problemu jest to 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Czytaj więcej »

Średnia wartość to 4948/5 = 989.6 Średnia wartość f w przedziale [a, b] wynosi 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Więc otrzymujemy: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989,6 Czytaj więcej »

1 / 2sin (2), około 0.4546487 Średnia wartość c funkcji f w przedziale [a, b] jest dana przez: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Tutaj, to przekłada się na średnią wartość: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Użyjmy podstawienia u = x / 2. Oznacza to, że du = 1 / 2dx. Następnie możemy przepisać całkę w następujący sposób: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Dzielenie 1 / 4 na 1/2 * 1/2 pozwala na obecność 1 / 2dx w całce, dzięki czemu możemy łatwo dokonać podstawienia 1 / 2dx = du. Musimy także zmienić granice na granice u, a nie x. Aby to zrobić, weź bieżące Czytaj więcej »

Średnia wartość to 16/3 Średnia wartość funkcji f w przedziale [a, b] wynosi 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Więc wartość, której szukamy, to 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Czytaj więcej »

Jest (4 (sqrt2-1)) / pi Średnia wartość funkcji f w przedziale [a, b] wynosi 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Więc szukana wartość to 1 / (pi / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx = 4 / pi [secx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sec (pi / 4) -sec (0)] = 4 / pi [ sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Czytaj więcej »

Średnia wartość f na [a, b} wynosi 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Dla tej funkcji w tym przedziale otrzymuję -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Czytaj więcej »

Zobacz poniżej. Średnia wartość to 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Notatka pedantyczna (12sqrtpi) / pi NIE ma racjonalnego mianownika. Czytaj więcej »

Weźmy całkę int_1 ^ ooxe ^ -xdx, która jest skończona, i zauważmy, że ogranicza ona sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Dlatego jest zbieżny, więc sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) jest również. Formalne stwierdzenie testu całkowego stwierdza, że jeśli fin [0, oo) rightarrowRR monotonna funkcja malejąca, która jest nieujemna. Suma sum_ (n = 0) ^ oof (n) jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy „sup” _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx jest skończone. (Tau, Terence. Analiza I, wydanie drugie. Hindustan, agencja książki. 2009). To stwierdzenie może wydawać się nieco techniczne, ale idea jest następująca. Biorąc w tym przypadku Czytaj więcej »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 Definicję pochodnej funkcji f (x) w punkcie c można zapisać: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h W naszym przypadku widzimy, że mamy (3 + h) ^ 3, więc możemy zgadnąć, że funkcja jest x ^ 3, i że c = 3. Możemy zweryfikować tę hipotezę, jeśli napiszemy 27 jako 3 ^ 3: lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h Widzimy, że gdyby c = 3, otrzymalibyśmy: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h Widzimy, że funkcja jest tylko wartość sześcienna w obu przypadkach, więc funkcja musi być f (x) = x ^ 3: lim_ (h-> 0) ((tekst (///)) ^ 3- (tekst (//)) ^ 3) / h Czytaj więcej »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 Wiemy: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Oznacza to, że możemy przepisać limit tak: lim_ (h-> 0) (cos ( pi / 6 + h) -cos (pi / 6)) / h Biorąc pod uwagę definicję pochodnej funkcji f (x) w punkcie c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Rozsądnym przypuszczeniem jest to, że c = pi 6, i używając go, widzimy, że wejścia do funkcji kosinusoidalnej są zgodne z danymi wejściowymi f (x) w definicji: lim_ (h- > 0) (cos (kolor (czerwony) (c + h)) - cos (kolor (czerwony) (c))) / h Oznacza to, że jeśli c = pi 6, to f (x) = cos (x ). Czytaj więcej »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Możemy najpierw podzielić ułamek na dwa: int (1-sin ^ 2 (x )) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 (x) -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Możemy teraz użyć następującej tożsamości: 1 / sin (theta) = csc (theta) int csc ^ 2 (x) dx-x Wiemy, że pochodną cot (x) jest -csc ^ 2 (x), więc możemy dodać znak minus zarówno na zewnątrz, jak i wewnątrz całki (tak, aby anulować), aby to wypracować: -int -csc ^ 2 ( x) dx-x = -cot (x) -x + C Czytaj więcej »

Sinh (1/2) ~~ 0.52 Znamy definicję sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Ponieważ znamy serię Maclaurin dla e ^ x, możemy jej użyć do skonstruuj jeden dla sinh (x). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Możemy znaleźć serię dla e ^ - x przez zastąpienie x przez -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Możemy odjąć te dwa od siebie, aby znaleźć licznik definicji sinh: kolor (biały) (- e ^ -x.) e ^ x = kolor (biały) (....) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) ... kolor (biały) (e ^ x Czytaj więcej »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] kolor (biały) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) ^ 3] kolor (biały) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 * (4 + x) ^ (5- 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) kolor (biały) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) kolor (biały) (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 Czytaj więcej »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) Musisz użyć reguły łańcucha. Przypomnij sobie, że wzór na to jest następujący: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Chodzi o to, że najpierw bierzesz pochodną funkcji najbardziej zewnętrznej, a potem po prostu działasz droga do środka. Zanim zaczniemy, zidentyfikujmy wszystkie nasze funkcje w tym wyrażeniu. Mamy: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) jest najbardziej zewnętrzną funkcją, więc zaczniemy od pochodnej tego. Więc: dy / dx = kolor (niebieski) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) Zwróć uwagę, jak zachowujemy to ((3x) / 4) tam. Pamiętaj, że gd Czytaj więcej »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Zaczynamy od podstawienia u przez u = ln (x). Następnie dzielimy przez pochodną u na integrację względem u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Teraz musimy rozwiązać dla x w terminach u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int ^ u * (e ^ u) ^ u du = int ^ (u ^ 2 + u) du Możesz zgadnąć, że nie ma elementarnej anty-pochodnej i miałbyś rację. Możemy jednak użyć formy dla wyimaginowanej funkcji błędu, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Aby uzyskać naszą całkę w tej formie, możemy mieć tylko jedną zmienną kwadratową w wykładn Czytaj więcej »

Zobacz poniżej. Biorąc pod uwagę abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n, ale sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 i d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3, a następnie sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1 ) ^ 3 Czytaj więcej »

Int sin (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Zaczynamy od wprowadzenia podstawienia u za pomocą u = 1 + cosh (x). Pochodna u jest wtedy sinh (x), więc dzielimy przez sinh (x), aby zintegrować w odniesieniu do u: int sin (x) / (1 + cosh (x)) dx = int anuluj (sinh (x)) / (anuluj (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Ta całka jest wspólną całką: int 1 / t dt = ln | t | + C To sprawia, że nasza całka: ln | u | + C Możemy powtórzyć test, aby uzyskać: ln (1 + cosh (x)) + C, co jest naszą ostateczną odpowiedzią. Usuwamy wartość bezwzględną z logarytmu, ponieważ zauważamy, że cosh jest dodatni w swojej domenie, w Czytaj więcej »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(wzór Faulhabera)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) [n ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Czytaj więcej »

Zobacz poniżej. Niestety funkcja wewnątrz całki nie integruje się z czymś, czego nie można wyrazić w kategoriach funkcji elementarnych. Aby to zrobić, musisz użyć metod numerycznych. Mogę ci pokazać, jak użyć rozszerzenia serii, aby uzyskać przybliżoną wartość. Zacznij od serii geometrycznej: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n dla rlt1 Teraz integruj się w odniesieniu do r i używając limitów 0 i x, aby to uzyskać: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr Integrowanie lewej strony: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = [- ln (1-r)] _ 0 ^ x = -ln (1-x) Teraz zintegruj prawą Czytaj więcej »

Reguła łańcuchowa: f '(g (x)) * g' (x) W rachunku różniczkowym używamy reguły łańcuchowej, gdy mamy funkcję złożoną. Mówi: Pochodna będzie równa pochodnej funkcji zewnętrznej względem wnętrza, razy pochodna funkcji wewnętrznej. Zobaczmy, jak to wygląda matematycznie: Reguła łańcuchowa: f '(g (x)) * g' (x) Powiedzmy, że mamy złożoną funkcję grzechu (5x). Wiemy: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Więc pochodna będzie równa cos (5x) * 5 = 5 cos (5 x) ) Musimy tylko znaleźć nasze dwie funkcje, znaleźć ich pochodne i wprowadzić je do wyrażenia Reguły Łańcucha Czytaj więcej »

Wiemy, że funkcję można aproksymować za pomocą tego wzoru f (x) = suma {k = 0} ^ {n} frak {f ^ ((k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x) gdzie R_n (x) jest resztą. I działa, jeśli f (x) można wyprowadzić n razy w x_0. Załóżmy teraz, że n = 4, w przeciwnym razie jest zbyt skomplikowane, aby obliczyć pochodne. Obliczmy dla każdego k = 0 do 4 bez uwzględnienia reszty. Gdy k = 0, formuła staje się: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 I widzimy, że e ^ (2/0) jest niezróżnicowane, więc funkcja nie może być aproksymowane w x_0 = 0 Czytaj więcej »

Oto podejście ... Zobaczmy ... Liniowy ma postać f (x) = mx + b, gdzie m jest nachyleniem, x jest zmienną, a b jest przecięciem y. (Wiedziałeś o tym!) Możemy znaleźć wklęsłość funkcji, znajdując jej podwójną pochodną (f '' (x)) i gdzie jest ona równa zero. Więc zróbmy to! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 To mówi nam, że funkcje liniowe muszą zakrzywiać się w każdym danym punkcie. Wiedząc, że wykres funkcji liniowych jest linią prostą, to nie ma sensu, prawda? Dlatego na wykresach funkcji liniowych nie Czytaj więcej »

Dlatego też muszę użyć reguły łańcuchowej na (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) do reguły produktu. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Czytaj więcej »

. Myślę, że nie jest standaryzowany. Jako student Uniwersytetu w USA w 1975 roku używamy Rachunku Earla Swokowskiego (pierwsze wydanie). Jego definicja jest następująca: Punkt P (c, f (c)) na wykresie funkcji f jest punktem przegięcia, jeśli istnieje otwarty przedział (a, b) zawierający c taki, że następujące relacje utrzymują się: (i) kolor (biały) (') ”„ f ”(x)> 0 jeśli a <x <c i f' '(x) <0 jeśli c <x <b; lub (ii) „f” (x) <0, jeśli a <x <c i f „” (x)> 0, jeśli c <x <b. (str. 146) W podręczniku, którego używam do nauczania, myślę, że Stewart mądrze jest uwzględnić warun Czytaj więcej »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Czytaj więcej »

Pochodna 10x względem x wynosi 10. Niech y = 10x Rozróżnij y względem x. (dy) / (dx) = d / (dx) (10x) (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [sinced / (dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) ( x) = 1] (dy) / (dx) = 10 Pochodna 10x względem x wynosi 10. Czytaj więcej »

Istnieje zasada różnicowania tych funkcji (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Zauważ, że dla naszego problemu a = 10 i u = x więc podłączmy to, co wiemy. (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) * (du) / (dx) jeśli u = x wtedy, (du) / (dx) = 1 z powodu mocy reguła: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) tak, wróć do naszego problemu, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * ( 10 ^ x) * (1) co upraszcza do (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) To działałoby tak samo, gdybyś był czymś bardziej skomplikowanym niż x. Wiele rachunków dotyczy zdolności powiązania danego problemu z jedną z zasad różnicow Czytaj więcej »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Używając następujących standardowych reguł różnicowania: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Otrzymujemy następujący wynik: d / dx2 ^ (grzech (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Czytaj więcej »

(d (2pir)) / (dr) kolor (biały) („XXX”) = 2pi (dr) / (dr) według stałej zasady dla koloru pochodnego (biały) („XXX”) = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Stała zasada dotycząca instrumentów pochodnych mówi nam, że jeśli f ( x) = c * g (x) dla pewnej stałej c, a następnie f '(x) = c * g' (x) W tym przypadku f (r) = 2pir; c = 2pi, a g (r) = r Czytaj więcej »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Biorąc pod uwagę, -4 / x ^ 2 Przepisz wyrażenie za pomocą notacji (dy) / (dx). d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Podziel frakcję. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Używając mnożenia przez stałą regułę, (c * f) '= c * f', wydobądź -4. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Przepisz 1 / x ^ 2 używając wykładników. = -4 * d / (dx) (x ^ -2) Używając reguły mocy, d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1), wyrażenie staje się, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Uprość. = kolor (zielony) (| bar (ul (kolor (biały) (a / a) kolor (czarny) (8x ^ -3) kolor (biały) (a / a) |))) Czytaj więcej »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Najłatwiej jest myśleć w kategoriach formy wykładniczej i stosować regułę mocy: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) w następujący sposób: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ (- 1 ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2)) + 3 ((- 2) x ^ (- 3)) = -6x ^ (- 2) -6x ^ (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Czytaj więcej »

-5 teraz regułą mocy dla różnicowania jest: d / (dx) (ax ^ n) = anx ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1) używając reguły mocy = -5x ^ 0 = -5 jeśli użyjemy definicji (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f (x)) / h mamy (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) - -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5x-5h + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5 jak poprzednio Czytaj więcej »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx funkcja wartości bezwzględnej, jak y = | x-2 | można napisać tak: y = sqrt ((x-2) ^ 2) zastosuj różnicowanie: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) reguła rarrpower upraszcza, y '= (x-2) / | x-2 | gdzie x! = 2, więc ogólnie d / dxu = u / | u | * (du) / dx Po prostu sprawdzę to podwójnie. Czytaj więcej »

Zakładam, że masz na myśli hiperbolę równoboczną, ponieważ jest to jedyna hiperbola, którą można wyrazić jako rzeczywistą funkcję jednej rzeczywistej zmiennej. Funkcja jest zdefiniowana przez f (x) = 1 / x. Z definicji wyklucza x in (-infty, 0) cup (0, + infty) pochodną jest: f '(x) = lim_ {h do 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h do 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h do 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} / {h} = lim_ {h do 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h do 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Można to również uzyskać za pomocą następującej reguły derywacji forall alfa ne 1: (x ^ alpha) '= a Czytaj więcej »

5 Nie do końca pewny twojej notacji tutaj. Interpretuję to jako: f (x) = 5x Pochodna: d / dx 5x = 5 Uzyskuje się to za pomocą reguły mocy: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Z przykładu: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Czytaj więcej »

Dodatkowy komentarz zaczynający się od: notacja cos ^ -1 dla odwrotnej funkcji kosinusowej (wyraźniej, funkcja odwrotna ograniczenia cosinusa do [0, pi]) jest powszechna, ale myląca. Rzeczywiście, standardowa konwencja dla wykładników używających funkcji trig (np. Cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 sugeruje, że cos ^ (- 1) x jest (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x). Oczywiście, nie jest, ale zapis jest bardzo mylący. Alternatywna (i powszechnie używana) notacja arccos x jest znacznie lepsza. Teraz dla pochodnej. Jest to kompozyt, więc użyjemy reguły łańcuchowej. będzie potrzebował (x ^ 3) '= 3x ^ 2 i (arccos x)' = - 1 / sqrt Czytaj więcej »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Używając reguły ilorazu, czyli y = f (x) / g (x), a następnie y '= (f' (x) g (x) f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Stosowanie tego dla danego problemu, czyli f (x) = (cos ^ -1x ) / x f '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2 f' (x) = (- 1 / sqrt (1- x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2 f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, gdzie -1 Czytaj więcej »

Przez niejawne różnicowanie, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Spójrzmy na niektóre szczegóły. Zastępując f (x) przez y, y = cot ^ {- 1} x, przepisując w kategoriach cotangens, Rightarrow coty = x, niejawnie różnicując względem x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 przez podzielenie przez -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} przez tożsamość trig csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Stąd, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Czytaj więcej »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Proces: 1.) y = "arccsc" (x) Najpierw przepisamy równanie w formie łatwiejszej do pracy. Weźmy cosecant obu stron: 2.) csc y = x Przepisz w kategoriach sinus: 3.) 1 / siny = x Rozwiąż dla y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Teraz przyjmowanie pochodnej powinno być łatwiejsze. To tylko kwestia zasady łańcucha. Wiemy, że d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) (tutaj znajduje się dowód tej tożsamości). Weźmy więc pochodną funkcji zewnętrznej, a następnie pomnóżmy ją przez pochodną 1 / x: 7.) dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d Czytaj więcej »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Objaśnienie: f (x) = e ^ (4x) log (1-x) Konwersja z podstawa 10 do ef (x) = e ^ (4x) nln (1-x) / ln10 Używanie reguły produktu, czyli y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' ( x) + f '(x) * g (x) Podobnie dla danego problemu, f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (- 1) + ln (1– x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Czytaj więcej »

-tan (x) / ln (2) f (x) = log_2 (cos (x)) = ln (cos (x)) / ln (2) 1 / ln (2) to tylko stała i można ją zignorować. (ln (u)) '= (u') / uu = cos (x), u '= - sin (x) f' (x) = 1 / ln (2) * (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) / ln (2) Czytaj więcej »

W f (x) = ln (cos (x)), mamy funkcję funkcji (to nie jest mnożenie, tylko powiedzmy), więc musimy użyć reguły łańcucha dla pochodnych: d / dx (f (g ( x)) = f '(g (x)) * g' (x) Dla tego problemu, z f (x) = ln (x) i g (x) = cos (x), mamy f '(x) = 1 / x i g '(x) = - sin (x), następnie podłączamy g (x) do wzoru na f' (*). D / dx (ln (cos (x))) = 1 / ( cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) Warto o tym pamiętać później, gdy dowiesz się o całkach! Powiedz im, że dansmath odpowiedział na twoje pytanie! Czytaj więcej »

Po pierwsze, przepiszemy funkcję w kategoriach logarytmów naturalnych, używając reguły zmiany podstawy: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Różnicowanie będzie wymagało użycia reguły łańcuchowej: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e ^ x + 3] Wiemy, że od pochodnej ln x w odniesieniu do x wynosi 1 / x, wtedy pochodna ln (e ^ x + 3) w odniesieniu do e ^ x + 3 będzie równa 1 / (e ^ x + 3). Wiemy również, że pochodna e ^ x + 3 względem x będzie po prostu e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * (e ^ x ) Uproszczenie wydajności: d / dx f (x) = (e ^ x) / (ln 4 (e ^ x + Czytaj więcej »

F '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) rozwiązanie Niech y = ln (f (x)) Różnicowanie względem x za pomocą reguły łańcuchowej, otrzymujemy, y' = 1 / f (x) * f '(x) Podobnie jak w przypadku danego problemu uzyskuje się, f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Czytaj więcej »

Dodatkowy komentarz na początek: notacja sin ^ -1 dla funkcji sinus odwrotnej (bardziej wyraźnie, funkcja odwrotna ograniczenia sinusu do [-pi / 2, pi / 2]) jest powszechna, ale myląca. Rzeczywiście, standardowa konwencja dla wykładników używających funkcji trig (np. Sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 sugeruje, że sin ^ (- 1) x jest (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x). Oczywiście, nie jest, ale zapis jest bardzo mylący. Alternatywna (i powszechnie używana) notacja arcsin x jest znacznie lepsza. Teraz dla pochodnej. Jest to kompozyt, więc użyjemy reguły łańcuchowej. będzie potrzebował (ln x) '= 1 / x (patrz rachunek logarytmó Czytaj więcej »

F '(x) = 2 (cosec2x) Rozwiązanie f (x) = ln (tan (x)) zacznijmy od ogólnego przykładu, załóżmy, że mamy y = f (g (x)), a następnie, używając reguły łańcuchowej, y' = f '(g (x)) * g' (x) Podobnie jak w przypadku danego problemu, f '(x) = 1 / tanx * sec ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) dla dalszego uproszczenia, mnożymy i dzielimy przez 2, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' (x) = 2 (cosec2x) Czytaj więcej »

Metoda 1: Zaczniemy od użycia reguły zmiany podstawy, aby przepisać f (x) równoważnie jako: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 Wiemy, że d / dx [ln x] = 1 / x . (jeśli ta tożsamość wygląda na nieznaną, sprawdź niektóre filmy na tej stronie, aby uzyskać dalsze wyjaśnienia). Zastosujemy więc regułę łańcucha: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] Pochodną ln x / 6 będzie 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Uproszczenie daje nam: f' (x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Metoda 2: Pierwszą rzeczą do odnotowania jest to, że tylko d / dx ln (x) = 1 / x gdzie ln = log_e. Innymi słowy, tylko jeśli Czytaj więcej »

Zakładam, że z logu rozumiałeś logarytm z bazą 10. Nie powinien i tak być problemem, ponieważ logika dotyczy również innych baz. Najpierw zastosujemy zasadę zmiany podstawy: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10) Możemy uznać 1 / ln10 za stałą, więc weź pochodną licznik i zastosuj regułę łańcucha: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Uprość nieco: dy / dx = (2x + 1) / (ln ( 10) * (x ^ 2 + x)) Jest nasza pochodna. Należy pamiętać, że przyjmowanie pochodnych logarytmów bez podstawy e jest tylko kwestią użycia reguły zmiany podstawy do przekształcenia ich w logarytmy naturalne, które są łatwe do roz Czytaj więcej »

Pochodna to f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Oto przykład reguły przydziału: reguła przydziału. Reguła ilorazu stwierdza, że pochodna funkcji f (x) = (u (x)) / (v (x)) to: f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. Mówiąc ściślej: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, gdzie u i v są funkcjami (konkretnie licznikiem i mianownikiem oryginalnej funkcji f (x)). W tym konkretnym przykładzie pozwolimy u = logx i v = x. Dlatego u '= 1 / x i v' = 1. Zastępując te wyniki w regule ilorazu, znajdujemy: f '(x) = (x xx 1 / x-logx xx 1) / x ^ 2 f' (x) = (1-logx) / x ^ 2. Czytaj więcej »

Według reguły ilorazu, y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Ten problem można również rozwiązać za pomocą reguły produktu y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) Oryginalna funkcja może być również przepisana przy użyciu ujemnych wykładników. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1 f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2 f' (x ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2 f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2 f' (x) = (1- ln (x)) / x ^ 2 Czytaj więcej »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Proces: Po pierwsze, sprawimy, że równanie będzie trochę łatwiejsze do rozwiązania. Weź sekcję z obu stron: y = sec ^ -1 x sec y = x Następnie przepisz w kategoriach cos: 1 / cos y = x I rozwiń dla y: 1 = xcosy 1 / x = przytulny y = arccos (1 / x) Teraz wygląda to znacznie łatwiej. Wiemy, że d / dx [arccos (alpha)] = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)), abyśmy mogli użyć tej tożsamości oraz reguły łańcucha: dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Trochę uproszczenia: dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) Trochę więcej uproszczenia: dy / dx = 1 / (x ^ 2s Czytaj więcej »

Większość ludzi pamięta to f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} jako jedną z formuł pochodnych; jednak można to uzyskać przez niejawne różnicowanie. Wyprowadźmy pochodną. Niech y = sin ^ {- 1} x. Przez przepisywanie w kategoriach sinus, siny = x Poprzez niejawne różnicowanie względem x, przytulny cdot {dy} / {dx} = 1 Dzieląc przez przytulny, {dy} / {dx} = 1 / przytulny Przez cosy = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} Przez siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Czytaj więcej »

Pochodna dla tego przykładu obejmuje regułę łańcucha i regułę mocy. Przekształć pierwiastek kwadratowy w wykładnik. Następnie zastosuj regułę mocy i regułę łańcucha. Następnie upraszczaj i usuwaj negatywne wykładniki. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x )) ^ ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * ( 1 / x) f '(x) = (1 / (2x)) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) f' (x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x ))) Czytaj więcej »

Wydaje mi się, że pamiętam, jak mój profesor zapomniał, jak to osiągnąć. Oto, co mu pokazałem: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) Ponieważ tany = x / 1 i sqrt (1 ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sec ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => kolor (niebieski) ((dy ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Myślę, że pierwotnie zamierzał to zrobić: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> sec ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Czytaj więcej »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Potrzebujemy reguły sumy (u + v + w)' = u '+ v' + w 'i że (x ^ n)' = nx ^ (n-1) więc otrzymujemy f '(x) = 3x ^ 2-6x Czytaj więcej »

Kiedy rozróżniasz wykładniczą podstawę od innej niż e, użyj reguły zmiany bazy, aby przekształcić ją na logarytmy naturalne: f (x) = x * lnx / ln5 Teraz rozróżnij i zastosuj regułę produktu: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Wiemy, że pochodna ln x wynosi 1 / x. Jeśli traktujemy 1 / ln5 jako stałą, możemy zredukować powyższe równanie do: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Uproszczenie wydajności: d / dxf (x) = (lnx + 1) / ln5 Czytaj więcej »

Funkcja f (x) = x * ln (x) ma postać f (x) = g (x) * h (x), dzięki czemu nadaje się do zastosowania reguły produktu. Reguła produktu mówi, że aby znaleźć pochodną funkcji, która jest iloczynem dwóch lub więcej funkcji, użyj następującego wzoru: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) In w naszym przypadku możemy użyć następujących wartości dla każdej funkcji: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Gdy zamienimy każdy z nich na reguła produktu, otrzymujemy ostateczną odpowiedź: f '(x) = 1 * ln (x) + x * 1 / x = ln (x) + 1 Dowiedz się więcej o regule produktu tutaj. Czytaj więcej »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). Będziemy wymagać użycia dwóch reguł: reguły produktu i reguły łańcucha. Reguła produktu stwierdza, że: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. Reguła łańcucha mówi, że: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, gdzie u jest funkcją x i y jest funkcją u. Dlatego (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' Aby znaleźć pochodną sqrt (1-x ^ 2) , użyj reguły łańcucha, z u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / (sqrt (1-x ^ 2)) Zastępując ten wynik w oryginalnym równaniu: (df) / dx Czytaj więcej »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Aby znaleźć pochodną g (x), musisz rozróżnić każdy termin w sumie g' (x) = d / dx (x) + d / dx ( 4 / x) Łatwiej jest zobaczyć regułę mocy na drugim terminie, przepisując ją jako g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (- 1-1)) g' (x) = 1 + 4 (-x ^ (- 2)) g '( x) = 1 - 4x ^ -2 Na koniec możesz przepisać ten nowy drugi termin jako ułamek: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Czytaj więcej »

Możesz traktować i jako dowolną stałą, taką jak C. Więc pochodna i wynosiłaby 0. Jednak, gdy mamy do czynienia z liczbami zespolonymi, musimy uważać na to, co możemy powiedzieć o funkcjach, pochodnych i całkach. Weź funkcję f (z), gdzie z jest liczbą zespoloną (czyli f ma domenę złożoną). Następnie pochodna f jest zdefiniowana w podobny sposób jak w przypadku rzeczywistym: f ^ prime (z) = lim_ (h do 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) gdzie h jest teraz liczba złożona. Widząc, że liczby złożone mogą być uważane za leżące w płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną zespoloną, mamy wynik tego ograniczenia, który zależy od tego, w j Czytaj więcej »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Używasz reguły łańcucha: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). W twoim przypadku: (f @ g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) i g (x) = 2x. Ponieważ f '(x) = 1 / xg' (x) = 2, mamy: (f @ g) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Czytaj więcej »

Biorąc pod uwagę funkcję (liniową): y = mx + b gdzie m i b są liczbami rzeczywistymi, pochodna y 'tej funkcji (w odniesieniu do x) to: y' = m Ta funkcja, y = mx + b, reprezentuje, graficznie, linię prostą, a liczba m przedstawia NACHYLENIE linii (lub jeśli chcesz nachylenie linii). Jak widzisz, wyprowadzenie funkcji liniowej y = mx + b daje ci m, nachylenie linii, co jest dość zwrotnym wynikiem, szeroko stosowanym w rachunku! Jako przykład możesz rozważyć funkcję: y = 4x + 5 możesz wyprowadzić każdy współczynnik: pochodna 4x jest 4 pochodna 5 to 0, a następnie dodaj je razem, aby uzyskać: y '= 4 + 0 = 4 (P Czytaj więcej »

Pochodną pi * r ^ 2 (zakładając, że jest to w odniesieniu do r) jest kolor (biały) („XXX”) (d pir ^ 2) / (dr) = kolor (czerwony) (2pir) Ogólnie moc reguła rozróżniania funkcji postaci ogólnej f (x) = c * x ^ a gdzie c jest stałą jest (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1) W tym przypadku kolor (biały) („XXX”) stała (c) to pi kolor (biały) („XXX”) wykładnik (a) to 2 kolory (biały) („XXX”) i używamy r jako naszej zmiennej, zamiast x So kolor (biały) ("XXX") (d (pir ^ 2)) / (dr) = 2 * pi * r ^ (2-1) kolor (biały) ("XXXXXXX") = 2pir Czytaj więcej »

Pi / 3 Użyjemy reguły: d / dx (cx) = cd / dx (x) = c Innymi słowy, pochodna 5x wynosi 5, pochodna -99x wynosi -99, a pochodna 5 / 7x to 5/7. Podana funkcja (pix) / 3 jest taka sama: jest to stała pi / 3 pomnożona przez zmienną x. Zatem d / dx ((piksele) / 3) = pi / 3d / dx (x) = pi / 3. Czytaj więcej »

2 * cos (2x) Użyłbym reguły łańcuchowej: Najpierw wyprowadź grzech, a następnie argument 2x, aby uzyskać: cos (2x) * 2 Czytaj więcej »

Poprzednia odpowiedź zawiera błędy. Oto poprawne wyprowadzenie. Po pierwsze, znak minus przed funkcją f (x) = - sin (x), kiedy bierze pochodną, zmieniłby znak pochodnej funkcji f (x) = sin (x) na przeciwny . Jest to łatwe twierdzenie w teorii granic: granica stałej pomnożona przez zmienną równą tej stałej pomnożonej przez granicę zmiennej. Znajdźmy więc pochodną f (x) = sin (x), a następnie pomnóżmy ją przez -1. Musimy zacząć od następującego stwierdzenia o granicy funkcji trygonometrycznej f (x) = sin (x), ponieważ jej argument ma tendencję do zera: lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 Dowód tego jest czysto ge Czytaj więcej »

Odpowiedź 1 Jeśli chcesz częściowych pochodnych f (x, y) = sin (x ^ 2y ^ 2), są one: f_x (x, y) = 2xy ^ 2cos (x ^ 2y ^ 2) i f_y (x, y) = 2x ^ 2ycos (x ^ 2y ^ 2). Odpowiedź 2 Jeśli rozważamy y jako funkcję x i szukamy d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2)), odpowiedź brzmi: d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2 )) = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy) / (dx)] cos (x ^ 2y ^ 2) Znajdź to używając niejawnego różnicowania (reguła łańcucha) i reguły produktu. d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2)) = [cos (x ^ 2y ^ 2)] * d / (dx) (x ^ 2y ^ 2) == [cos (x ^ 2y ^ 2) ] * [2xy ^ 2 + x ^ 2 2y (dy) / (dx)] = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy) / (dx)] cos (x ^ 2y ^ 2) Czytaj więcej »

Reguła mocy: (dy) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) Reguła mocy + reguła łańcucha: (dy) / (dx) [u ^ n] = n * u ^ (n -1) * (du) / (dx) Niech u = 2x tak (du) / (dx) = 2 Pozostajemy z y = sqrt (u), które można przepisać jako y = u ^ (1/2) Teraz (dy) / (dx) można znaleźć przy użyciu reguły mocy i reguły łańcucha. Powrót do naszego problemu: (dy) / (dx) = 1/2 * u ^ (- 1/2) * (du) / (dx) podłączanie (du) / (dx) otrzymujemy: (dy) / ( dx) = 1/2 * u ^ (- 1/2) * (2) wiemy, że: 2/2 = 1 dlatego, (dy) / (dx) = u ^ (- 1/2) Podłączanie wartości dla u stwierdzamy, że: (dy) / (dx) = 2x ^ (- 1/2) Czytaj więcej »