Rachunek Różniczkowy

Nieskończona liczba względnych ekstremów istnieje na xw [-1 / pi, 1 / pi] przy f (x) = + - 1 Najpierw podłączmy punkty końcowe przedziału [-1 / pi, 1 / pi] do funkcja, aby zobaczyć zachowanie końcowe. f (-1 / pi) = - 1 f (1 / pi) = - 1 Następnie określamy punkty krytyczne, ustawiając pochodną na zero. f '(x) = 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) sin (1 / x) -sin (1 / x) 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2 ) sin (1 / x) -sin (1 / x) = 0 Niestety, kiedy wykreślasz to ostatnie równanie, otrzymujesz następujący wynik Ponieważ wykres pochodnej ma nieskończoną liczbę korzeni, pierwotna funkcja ma nieskończoną liczbę ekstrema Czytaj więcej »

Minimum wynosi 0 przy x = 0, a maksimum wynosi 4 ^ 4 / e ^ 4 przy x = 4 Zauważ najpierw, że w [0, oo) f nigdy nie jest ujemne. Ponadto f (0) = 0, więc musi to być minimum. f '(x) = (x ^ 3 (4-x)) / e ^ x, który jest dodatni na (0,4) i ujemny na (4, oo). Doszliśmy do wniosku, że f (4) jest względnym maksimum. Ponieważ funkcja nie ma innych krytycznych punktów w domenie, to względne maksimum jest również absolutnym maksimum. Czytaj więcej »

Y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 4 + 10x +25) - 4x (-x ^ 4 - anuluj (5x ^ 2) + anuluj (5x ^ 2) + 25)) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y '= (-2x ^ 5 - 20x ^ 2 -50x + 4x ^ 5 - 100x) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y' = (2x ^ 5 - 20x ^ 2 - 150x) / (( x ^ 2 +5) ^ 4 Czytaj więcej »

Maksimum bezwzględne: x = pi / 8 Bezwzględna min. znajduje się w punktach końcowych: x = 0, x = pi / 4 Znajdź pierwszą pochodną za pomocą reguły łańcucha: Niech u = 2x; u '= 2, więc y = sinu + cos uy' = (cosu) u '- (sinu) u' = 2cos2x - 2sin2x Znajdź liczby krytyczne ustawiając y '= 0 i współczynnik: 2 (cos2x-sin2x) = 0 Kiedy czy cosu = sinu? gdy u = 45 ^ @ = pi / 4, więc x = u / 2 = pi / 8 Znajdź drugą pochodną: y '' = -4sin2x-4cos2x Sprawdź, czy masz maks. przy pi / 8 używając drugiego testu pochodnego : y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0, dlatego pi / 8 jest absolutnym maksimum w przedz Czytaj więcej »

Minimum: f (x) = -6.237 przy x = 1.147 Maksimum: f (x) = 16464 przy x = 7 Jesteśmy proszeni o znalezienie globalnych minimalnych i maksymalnych wartości dla funkcji w danym zakresie. Aby to zrobić, musimy znaleźć krytyczne punkty rozwiązania, które można zrobić, biorąc pierwszą pochodną i rozwiązując dla x: f '(x) = 5x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2x - 7 x ~~ 1.147 który jest jedynym krytycznym punktem. Aby znaleźć ekstrema globalne, musimy znaleźć wartość f (x) przy x = 0, x = 1,147 i x = 7, zgodnie z podanym zakresem: x = 0: f (x) = 0 x = 1,147 : f (x) = -6.237 x = 7: f (x) = 16464 Zatem bezwzględna ekstrema tej funkcji Czytaj więcej »

Bez maksimum. Minimum wynosi 0. Bez maksimum Jak xrarr0, sinxrarr0 i lnxrarr-oo, więc lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo Więc nie ma maksimum. Bez minimum Niech g (x) = sinx + lnx i zauważ, że g jest ciągłe na [a, b] dla dowolnych dodatnich aib. g (1) = sin1> 0 "" i "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0. g jest ciągłe w [e ^ -2,1], który jest podzbiorem (0,9]. Twierdzeniem o wartości pośredniej g ma zero w [e ^ -2,1], które jest podzbiorem (0,9). Ta sama liczba to zero dla f (x) = abs ( sinx + lnx) (który musi być nieujemny dla wszystkich x w domenie.) Czytaj więcej »

X = ln (5) i x = ln (30) Wydaje mi się, że bezwzględne ekstrema jest „największym” (najmniejszym maksimum lub minimum). Potrzebujesz f ': f' (x) = (xcos (x) e ^ x - sin (x) (e ^ x + xe ^ x)) / (xe ^ x) ^ 2 f '(x) = (xcos (x) - sin (x) (1 + x)) / (x ^ 2e ^ x) AAx w [ln (5), ln (30)], x ^ 2e ^ x> 0 więc potrzebujemy znaku (xcos ( x) - sin (x) (1 + x)), aby uzyskać zmiany f. AAx w [ln (5), ln (30)], f '(x) <0, więc f stale maleje na [ln (5), ln (30)]. Oznacza to, że jego ekstremum jest w ln (5) i ln (30). Jego max to f (ln (5)) = sin (ln (5)) / (ln (25)), a jego min to f (ln (30)) = sin (ln (30)) / (30 l Czytaj więcej »

Absolutnym minimum jest 0, które występuje przy x = 0 i x = 20. Absolutne maksimum to 15root (3) 5, które występuje przy x = 5. Możliwe punkty, które mogą być bezwzględnymi ekstrema to: Punkty zwrotne; tj. punkty gdzie dy / dx = 0 Punkty końcowe przedziału Mamy już nasze punkty końcowe (0 i 20), więc znajdźmy nasze punkty zwrotne: f '(x) = 0 d / dx (x ^ (1/3) ( 20-x)) = 0 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) (20-x) / (3x) = 1 20-x = 3x 20 = 4x 5 = x Więc jest punkt zwrotny, gdzie x = 5. Oznacza to, że 3 możliwe punkty, które mogą być ekstrema to : x = 0 "&qu Czytaj więcej »

(1, 1 / e) jest absolutnym maksimum w danej domenie Nie ma minimum. Pochodna jest podana przez f '(x) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 f '(x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2) ) ^ 2 Wartości krytyczne wystąpią, gdy pochodna równa się 0 lub jest niezdefiniowana. Pochodna nigdy nie będzie niezdefiniowana (ponieważ e ^ (x ^ 2) i x są funkcjami ciągłymi, a e ^ (x ^ 2)! = 0 dla dowolnej wartości x. Jeśli więc f '(x) = 0: 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) Jak wspomniano powyżej e ^ (x ^ 2) nigdy nie będzie równe 0, więc nasz jedyny Czytaj więcej »

Jest absolutne maksimum -1.718 przy x = 1 i absolutne minimum -5.921 przy x = ln8. Aby określić bezwzględne ekstrema w przedziale, musimy znaleźć krytyczne wartości funkcji, które leżą w przedziale. Następnie musimy przetestować zarówno punkty końcowe przedziału, jak i wartości krytyczne. Są to miejsca, w których mogą wystąpić wartości krytyczne. Znajdowanie wartości krytycznych: Wartości krytyczne f (x) występują zawsze, gdy f '(x) = 0. Zatem musimy znaleźć pochodną f (x). If: "" "" "" "" "" f (x) = xe ^ x Następnie: "" "" "" Czytaj więcej »

Przy x = -1 minimum i przy x = 3 maksimum. f (x) = (x-1) / (x ^ 2 + x + 2) ma punkty stacjonarne charakteryzowane przez (df) / (dx) = - ((x-3) (1 + x)) / (2 + x + x ^ 2) ^ 2 = 0, więc są w x = -1 i x = 3 Ich charakterystyka jest analizowana przez sygnał (d ^ 2f) / (dx ^ 2) = (2 (x ((x- 3) x-9)) - 1) / (2 + x + x ^ 2) ^ 3 w tych punktach. (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (- 1) = 1> 0-> względne minimum (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (3) = - 1/49 <0-> maksimum względne. Dołączono wykres funkcji. Czytaj więcej »

Bez absolutnych maksimów lub minimów, mamy maksima przy x = 16 i minima przy x = 0 Pojawią się maksima, gdzie f '(x) = 0 i f' '(x) <0 dla f (x) = (x +1) (x-8) ^ 2 + 9 f '(x) = (x-8) ^ 2 + 2 (x + 1) (x-8) = (x-8) (x-8 + 2x + 2) = (x-8) (3x-6) = 3 (x-8) (x-2) Jest oczywiste, że gdy x = 2 i x = 8, mamy ekstrema, ale f '' (x) = 3 (x-2) +3 (x-8) = 6x-30 i przy x = 2, f '' (x) = - 18 i przy x = 8, f '' (x) = 18 Stąd, gdy x w [ 0,16] mamy lokalne maksima przy x = 2 i lokalne minima przy x = 8 nie absolutne maksima lub minima. W przedziale [0,16] mamy maksima przy x = 16 i minim Czytaj więcej »

Absolutne minimum to -25/2 (przy x = -sqrt (25/2)). Absolutne maksimum to 25/2 (przy x = sqrt (25/2)). f (-4) = -12 if (5) = 0 f '(x) = sqrt (25-x ^ 2) + x / (anuluj (2) sqrt (25-x ^ 2)) * - anuluj ( 2) x = (25-x ^ 2-x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) = (25-2x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) Krytyczne liczby f wynoszą x = + -sqrt (25/2) Oba są w [-4,5] .. f (-sqrt (25/2)) = -sqrt (25/2) sqrt (25-25 / 2) = -sqrt ( 25/2) sqrt (25/2) = -25/2 Według symetrii (f jest nieparzyste), f (sqrt (25/2)) = 25/2 Podsumowanie: f (-4) = -12 f (-sqrt (25/2)) = -25/2 f (sqrt (25/2)) = 25/2 f (5) = 0 Absolutne minimum to -25/2 (przy x = -sqrt (25/2)) . Abs Czytaj więcej »

Nie ma bezwzględnych ekstrem w przedziale (2, 5) Biorąc pod uwagę: f (x) = x - sqrt (5x - 2) w (2, 5) Aby znaleźć bezwzględne ekstrema, musimy znaleźć pierwszą pochodną i wykonać pierwszą pochodną przetestuj, aby znaleźć minimum lub maksimum, a następnie znajdź wartości y punktów końcowych i porównaj je. Znajdź pierwszą pochodną: f (x) = x - (5x - 2) ^ (1/2) f '(x) = 1 - 1/2 (5x - 2) ^ (- 1/2) (5) f '(x) = 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) Znajdź wartość krytyczną (s) f' (x) = 0: 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) = 0 1 = 5 / ( 2sqrt (5x - 2)) 2sqrt (5x - 2) = 5 sqrt (5x - 2) = 5/2 Kwadrat po obu stronach: 5x - 2 = + - Czytaj więcej »

Maksimum bezwzględne: (5, 1/10) minimum bezwzględne: (0, 0) Biorąc pod uwagę: f (x) = x / (x ^ 2 + 25) „w przedziale” [0, 9] Ekstrema bezwzględne można znaleźć oceniając punkty końcowe i znajdowanie wszelkich względnych maksimów lub minimów i porównywanie ich wartości y. Oceń punkty końcowe: f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => ( 9, 9/106) ~~ (9, .085) Znajdź względne minimum lub maksimum, ustawiając f '(x) = 0. Użyj reguły ilorazu: (u / v)' = (vu '- uv') / v ^ 2 Niech u = x; „„ u ”= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x f' Czytaj więcej »

Nie istnieją ekstrema bezwzględne, ponieważ f (x) nieograniczone Istnieją ekstrema lokalne: MAX LOKALNY: x = -1 MIN LOKALNY: x = 1 PUNKT INFLEKCJI x = 0 Nie istnieją ekstrema absolutne, ponieważ lim_ (x rarr + -oo) f ( x) rarr + -oo Możesz znaleźć ekstrema lokalne, jeśli takie istnieją. Aby znaleźć ekstrema f (x) lub poity krytyczne, musimy obliczyć f '(x), gdy f' (x) = 0 => f (x) ma punkt stacjonarny (MAX, min lub punkt przegięcia). Następnie musimy znaleźć, kiedy: f '(x)> 0 => f (x) rośnie f' (x) <0 => f (x) maleje Dlatego: f '(x) = d / dx (5x ^ 7-7x ^ 5-5) = 35x ^ 6-35x ^ 4 + 0 = 35x ^ Czytaj więcej »

Musimy znaleźć krytyczne wartości f (x) w przedziale [1,4]. Dlatego obliczamy pierwiastki pierwszej pochodnej, więc mamy (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2 Więc f ( 2) = 5 Również znajdziemy wartości fw punktach końcowych, stąd f (1) = 1 + 2 = 3 f (4) = 16 + 2/4 = 16,5 Największa wartość funkcji wynosi x = 4 stąd f (4 ) = 16,5 to absolutne maksimum dla f w [1,4] Najmniejsza wartość funkcji wynosi x = 1, stąd f (1) = 3 jest absolutnym minimum dla f w [1,4] Wykres f w [1 , 4] jest Czytaj więcej »

Ekstrema bezwzględna może występować albo na granicach, na ekstremach lokalnych, albo w nieokreślonych punktach. Znajdźmy wartości f (x) na granicach x = 3 i x = 7. To daje nam f (3) = 1 if (7) = 7/43. Następnie znajdź ekstrema lokalne za pomocą pochodnej. Pochodną f (x) = x / (x ^ 2-6) można znaleźć przy użyciu reguły ilorazu: d / dx (u / v) = ((du) / dxv-u (dv) / dx) / v ^ 2 gdzie u = x i v = x ^ 2-6. Zatem f '(x) = - (x ^ 2 + 6) / (x ^ 2-6) ^ 2. Lokalne ekstrema występuje, gdy f '(x) = 0, ale nigdzie w x w [3,7] nie jest f' (x) = 0. Następnie znajdź niezdefiniowane punkty. Jednak dla wszystkich x w [3,7] zde Czytaj więcej »

Absolutne minimum -1 przy x = 1 i bezwzględne maksimum 19 przy x = 3. Istnieją dwa kandydatów na bezwzględne ekstrema przedziału. Są to punkty końcowe przedziału (tutaj, 0 i 3) oraz wartości krytyczne funkcji znajdującej się w przedziale. Wartości krytyczne można znaleźć, znajdując pochodną funkcji i ustalając, dla których wartości x równa się 0. Możemy użyć reguły mocy, aby stwierdzić, że pochodna f (x) = x ^ 3-3x + 1 to f '( x) = 3x ^ 2-3. Wartości krytyczne są wtedy, gdy 3x ^ 2-3 = 0, co upraszcza się do x = + - 1. Jednak x = -1 nie jest w przedziale, więc jedyną ważną wartością krytyczną jest tutaj w Czytaj więcej »

Lokalne minima. to -2187/128. Globalne minima = -2187 / 128 ~ = -17,09. Globalne maksima = 64. Dla ekstrema, f '(x) = 0. f '(x) = (x-2) * 3 (x-5) ^ 2 + (x-5) ^ 3 * 1 = (x-5) ^ 2 {3x-6 + x-5] = (4x -11) (x-5) ^ 2. f '(x) = 0 rArr x = 5! w [1,4], więc nie ma potrzeby dalszego cosideration & x = 11/4. f '(x) = (4x-11) (x-5) ^ 2, rArr f' '(x) = (4x-11) * 2 (x-5) + (x-5) ^ 2 * 4 = 2 (x-5) {4x-11 + 2x-10} = 2 (x-5) (6x-21). Teraz, f '' (11/4) = 2 (11 / 4-5) (33 / 2-21) = 2 (-9/4) (- 9/2)> 0, pokazując, że f (11 / 4) = (11 / 4-2) (11 / 4-5) ^ 3 = (3/2) (- 9/4) ^ 3 = -2187 / 128, to lokalne m Czytaj więcej »

(-4, -381) i (8,2211) Aby znaleźć ekstrema, należy wziąć pochodną funkcji i znaleźć korzenie pochodnej. tj. rozwiązać dla d / dx [f (x)] = 0, użyć reguły mocy: d / dx [6x ^ 3 - 9x ^ 2-36x + 3] = 18x ^ 2-18x-36 rozwiązać dla korzeni: 18x ^ 2-18x-36 = 0 x ^ 2-x-2 = 0, współczynnik kwadratowy: (x-1) (x + 2) = 0 x = 1, x = -2 f (-1) = -6- 9 + 36 + 3 = 24 f (2) = 48-36-72 + 3 = -57 Sprawdź granice: f (-4) = -381 f (8) = 2211 Zatem ekstrema bezwzględne są (-4, - 381) i (8 2211) Czytaj więcej »

Absolutne minimum to 0 (przy x = 0), a absolutne maksimum to 1 (przy x = 1). f '(x) = ((1) (x ^ 2-x + 1) - (x) (2x-1)) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 = (1-x ^ 2) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 f '(x) nigdy nie jest niezdefiniowane i wynosi 0 przy x = -1 (który nie jest w [0,3]) i przy x = 1. Sprawdzając punkty końcowe intevral i liczbę krytyczną w przedziale, znajdujemy: f (0) = 0 f (1) = 1 f (3) = 3/7 Więc, absolutne minimum wynosi 0 (przy x = 0) i maksimum bezwzględne wynosi 1 (przy x = 1). Czytaj więcej »

Sprawdź poniżej, aby uzyskać odpowiedź. Dla x = 0 mamy f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 Rozważamy nową funkcję g (x) = xe ^ (- x) +1, xinRR g (0 ) = 0, g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0, xinRR W rezultacie g rośnie w RR. Dlatego, że to jest ściśle rosnące, g jest „1-1” (od jednego do jednego), więc f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 <=> g (f (0)) = g ( 0) <=> f (0) = 0 Musimy pokazać, że x / 2 ^ (x> 0) 1/2 1/2 <(f (x) -f (0)) / (x-0)Czytaj więcej »

Zobacz poniżej Nie jestem w 100% pewny, ale to byłaby moja odpowiedź. Definicja funkcji parzystej to f (-x) = f (x) Dlatego f (-a) = f (a). Ponieważ f (a) jest ciągłe, a f (-a) = f (a), to f (-a) jest również ciągłe. Czytaj więcej »

Dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx Lubię ustawiać problem równy y, jeśli jeszcze nie jest. Pomoże także naszemu przypadkowi przepisać problem, używając właściwości logarytmów; y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) Teraz wykonujemy dwie zmiany, aby ułatwić czytanie; Powiedzmy, że w = cosh (lnx) i u = cosx teraz; y = ln (w) + ln (u) ahh, możemy z tym pracować :) Weźmy pochodną względem x obu stron. (Ponieważ żadna z naszych zmiennych nie jest x, będzie to niejawne różnicowanie) d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) Cóż, znamy pochodną lnx na 1 / x i używając reguły łańcucha, którą otrzymujemy; dy / d Czytaj więcej »

E ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) Podstawienie tutaj byłoby ogromnie pomocne! Powiedzmy, że x ^ (1/2) = u teraz, y = e ^ u Wiemy, że pochodna e ^ x jest e ^ x tak; dy / dx = e ^ u * (du) / dx przy użyciu reguły łańcuchowej d / dx x ^ (1/2) = (du) / dx = 1/2 * x ^ (- 1/2) = 1 / ( 2sqrt (x)) Teraz podłącz (du) / dx u do równania: D dy / dx = e ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) Czytaj więcej »

(1,1) i (1, -1) są punktami zwrotnymi. y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3 Korzystanie z niejawnego różnicowania, 3y ^ 2 razy (dy) / (dx) + 3xx2y (dy) / (dx) + 3y ^ 2-3x ^ 2 = 0 (dy) / (dx) (3y ^ 2 + 6xy) = 3x ^ 2-3y ^ 2 (dy) / (dx) = (3 (x ^ 2-y ^ 2)) / (3y (y + 2x)) (dy) / (dx) = (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) Dla punktów zwrotnych, (dy) / (dx) = 0 (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) = 0 x ^ 2-y ^ 2 = 0 (xy) (x + y) = 0 y = x lub y = -x Sub y = x z powrotem do oryginalnego równania x ^ 3 + 3x * x ^ 2- x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 Dlatego (1,1) jest jednym z 2 punktów zwrotnych Sub y = -x z powrotem do oryginalnego Czytaj więcej »

(0, -2) to punkt siodłowy (-5,3) to lokalne minimum Podajemy g (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y Najpierw musimy znaleźć punkty gdzie (delg) / (delx) i (delg) / (dely) oba równe są 0. (delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 (delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 6 (x + y + 2) = 0 6 (x + y ^ 2-4) = 0 x + y + 2 = 0 x = -y-2 -y-2 + y ^ 2-4 = 0 y ^ 2- y-6 = 0 (y-3) (y + 2) = 0 y = 3 lub -2 x = -3-2 = -5 x = 2-2 = 0 Punkty krytyczne występują przy (0, -2) i (-5,3) Teraz do klasyfikacji: Wyznacznik f (x, y) jest podawany przez D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (dely ^ 2 ) - ((del ^ 2g) / (delxy)) ^ 2 (del ^ 2g) / (del Czytaj więcej »

Zacznijmy od wprowadzenia niektórych definicji. Jeśli nazywamy h wysokością pola i x mniejszymi bokami (więc większe boki są 2x, możemy powiedzieć, że objętość V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000, z których wyodrębniamy hh = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 Teraz dla powierzchni (= materiał) Góra i dół: 2x * x razy 2-> Powierzchnia = 4x ^ 2 Krótkie boki: x * h razy 2-> Powierzchnia = 2xh Długie boki: 2x * h razy 2-> Powierzchnia = 4xh Całkowita powierzchnia: A = 4x ^ 2 + 6xh Zastępowanie dla h A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 Aby znaleźć minimum, r Czytaj więcej »

Domena definicji: f (x) = 2x ^ 2lnx to przedział xw (0, + oo). Oceń pierwszą i drugą pochodną funkcji: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Punkty krytyczne to rozwiązania: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 i jako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) W tym punkcie: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, więc punkt krytyczny jest lokalnym minimum. Punkty siodłowe są rozwiązaniami: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 i jak f '' (x) jest monotonicznie rosnący możemy stwierdzić, że f (x ) jest wk Czytaj więcej »

Ta funkcja nie ma punktów stacjonarnych (czy jesteś pewien, że f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x to ta, którą chcesz studiować ?!). Zgodnie z najbardziej rozproszoną definicją punktów siodłowych (punkty stacjonarne, które nie są ekstremami), szukasz punktów stacjonarnych funkcji w jej domenie D = (x, y) w RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) w RR ^ 2}. Możemy teraz przepisać wyrażenie podane dla f w następujący sposób: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Sposób ich identyfikacji polega na poszukiwaniu punktów, które unieważniają gradient f, który jest wektorem poch Czytaj więcej »

{: („Punkt krytyczny”, „Wniosek”), ((0,0), „min”), ((-1, -2), „siodło”), ((-1,2), „siodło” ), ((-5 / 3,0), „max”):} Teoria identyfikacji ekstremów z = f (x, y) to: Rozwiąż równocześnie równania krytyczne (częściowe f) / (częściowe x) = (częściowe f) / (częściowe y) = 0 (tj. z_x = z_y = 0) Oceń f_ (xx), f_ (yy) i f_ (xy) (= f_ (yx)) w każdym z tych punktów krytycznych . Stąd oszacuj Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 w każdym z tych punktów Określ naturę ekstrema; {: (Delta> 0, "Jest minimum, jeśli" f_ (xx) <0), (, "i maksimum, jeśli" f_ (yy)> 0), (Delta <0, " Czytaj więcej »

Mamy: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y Krok 1 - Znajdź częściowe pochodne Obliczamy pochodną częściową funkcja dwóch lub więcej zmiennych przez różnicowanie zmiennej wrt, podczas gdy inne zmienne są traktowane jako stałe. Zatem: Pierwsze pochodne to: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y Drugie pochodne (cytowane) to: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx ( 2cos2y) = -12sinxcos2y Drugie częściowe pochodne krzyżowe to: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y Zauważ, że drugie częściowe pochodne krzyżowe są identyczne ze względu na ciągłość f (x, y) Czytaj więcej »

X = pi / 2 i y = pi x = pi / 2 i y = -pi x = -pi / 2 i y = pi x = -pi / 2 i y = -pi x = pi i y = pi / 2 x = pi i y = -pi / 2 x = -pi i y = pi / 2 x = -pi i y = -pi / 2 Aby znaleźć punkty krytyczne funkcji 2 zmiennych, musisz obliczyć gradient, który jest wektorem zawierającym pochodne w odniesieniu do każdej zmiennej: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Mamy więc d / dx f (x, y) = 6 cos (x ) sin (y) i podobnie d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Aby znaleźć punkty krytyczne, gradient musi być wektorem zerowym (0,0), co oznacza rozwiązanie układu {(6 cos (x) sin (y) = 0), (6 cali (x) cos (y) = 0):} które oczywiście Czytaj więcej »

{0,0} punkt siodłowy {0, -2} maksimum lokalne f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2), więc punkty sary są określane przez rozwiązanie grad f (x, y) = vec 0 lub {(-2 e ^ yx = 0), (2 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2) = 0):} podając dwa rozwiązania ((x = 0, y = 0 ), (x = 0, y = -2)) Punkty te są kwalifikowane za pomocą H = grad (grad f (x, y)) lub H = ((- 2 e ^ y, -2 e ^ yx), (- 2 e ^ yx, 2 e ^ y + 4 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2))) więc H (0,0) = ((-2, 0), (0, 2 )) ma wartości własne {-2,2}. Wynik ten kwalifikuje punkt {0,0} jako punkt siodłowy. H (0, -2) = ((- 2 / e ^ 2, 0), (0, -2 / e ^ 2)) ma wartości własne {-2 / e ^ 2, -2 / e ^ Czytaj więcej »

Punkty (0,0), (1,0) i (0,1) są punktami siodłowymi. Punkt (1 / 3,1 / 3) jest lokalnym punktem maksymalnym. Możemy rozwinąć f do f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2. Następnie znajdź pochodne cząstkowe i ustaw je na zero. fr {{f}} {częściowy x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 frak {częściowo f} {częściowy y} = xx ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 Wyraźnie, (x, y) = (0,0), (1,0) i (0,1) są rozwiązaniami tego systemu, a więc są punktami krytycznymi f. Inne rozwiązanie można znaleźć w systemie 1-2x-y = 0, 1-x-2y = 0. Rozwiązanie pierwszego równania dla y pod względem x daje y = 1-2x, które można podłączyć do drugiego równania, ab Czytaj więcej »

Punkt siodłowy znajduje się przy {x = -63/725, y = -237/725} Stopy stacjonarne są wyznaczane do rozwiązywania dla {x, y} grad f (x, y) = ((9 + 2 x + 27 y ), (3 + 27 x + 2 y)) = vec 0 uzyskując wynik {x = -63/725, y = -237/725} Kwalifikacja tego punktu stacjonarnego jest wykonywana po obserwacji pierwiastków z powiązanego wielomianu charasterystycznego do swojej heskiej tablicy. Matrycę Hesji uzyskuje się wykonując H = grad (grad f (x, y)) = ((2,27), (27,2)) z charasteristic wielomianem p (lambda) = lambda ^ 2- „ślad” (H) lambda + det (H) = lambda ^ 2-4 lambda-725 Rozwiązanie dla lambda otrzymujemy lambda = {-25,29}, k Czytaj więcej »

Nie znalazłem żadnych punktów siodłowych, ale było minimum: f (1/3, -2 / 3) = -1/3 Aby znaleźć ekstrema, weź pochodną cząstkową w odniesieniu do x i y, aby zobaczyć, czy obie pochodne cząstkowe mogą jednocześnie równe 0. ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 Jeśli jednocześnie muszą równać się 0, tworzą układ równań: 2 ( 2x + y + 0 = 0) x + 2y + 1 = 0 Ten liniowy układ równań, po odjęciu, aby anulować y, daje: 3x - 1 = 0 => kolor (zielony) (x = 1/3) => 2 (1/3) + y = 0 => kolor (zielony) (y = -2/3) Ponieważ równania były liniowe, istniał tylko jeden punkt kr Czytaj więcej »

Zobacz odpowiedź poniżej: 1. Dzięki bezpłatnemu oprogramowaniu, które wspierało nas w grafice. http://www.geogebra.org/ 2. Dzięki stronie internetowej WolframAlpha, która dała nam numeryczne przybliżone rozwiązanie systemu z ukrytymi funkcjami. http://www.wolframalpha.com/ Czytaj więcej »

V = pi-1 / 4pi ^ 2 Wzór na znalezienie objętości bryły wytworzonej przez obrót funkcji f wokół osi x to V = int_a ^ bpi [f (x)] ^ 2dx Więc dla f (x) = cotx, objętość jego bryły obrotu między pi "/" 4 i pi "/" 2 to V = int_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) pi (cotx) ^ 2dx = piint_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) łóżeczko ^ 2xdx = piint_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) csc ^ 2x-1dx = -pi [cotx + x] _ (pi " / "4) ^ (pi" / "2) = - pi ((0-1) + (pi / 2-pi / 4)) = pi-1 / 4pi ^ 2 Czytaj więcej »

Punkt siodłowy na początku. Mamy: f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x Wyprowadzamy pochodne cząstkowe. Pamiętaj, że podczas częściowego różnicowania odróżniamy zmienną o której mowa, a pozostałe zmienne traktujemy jako stałe. I tak: (częściowe f) / (częściowe x) = 2xy-y ^ 2 i (częściowe f) / (częściowe y) = x ^ 2-2yx W ekstremalnych lub siodłowych punktach mamy: ( częściowy f) / (częściowy x) = 0 i (częściowy f) / (częściowy y) = 0 jednocześnie: tj. jednoczesne rozwiązanie: 2xy-y ^ 2 = 0 => y ( 2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y Stąd jest tylko jeden punkt kry Czytaj więcej »

Punkt (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) (1.26694,1.16437) jest lokalnym punktem minimalnym. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu to (częściowe f) / (częściowe x) = y-3x ^ {- 4} i (częściowe f) / (częściowe y) = x-2y ^ {- 3}. Ustawienie tych wartości równych zeru w systemie y = 3 / x ^ (4) i x = 2 / y ^ {3}. Podpisanie pierwszego równania do drugiego daje x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27. Ponieważ x! = 0 w domenie f, skutkuje to x ^ {11} = 27/2 i x = (27/2) ^ {1/11} tak, że y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} Pochodne cząstkowe drugiego rzędu są (częściowe ^ {2} f) / (częścio Czytaj więcej »

Jest jeden ekstrema w (3,3,27) Mamy: f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y Tak więc otrzymujemy pochodne cząstkowe: (częściowe f) / (częściowe x) = y - 27 / x ^ 2 i (częściowy f) / (częściowy y) = x - 27 / y ^ 2 W ekstrema lub punktach siodłowych mamy: (częściowy f) / (częściowy x) = 0 i (częściowe f) / (częściowe y) = 0 jednocześnie: tj. jednoczesne rozwiązanie: y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 Odejmowanie tych równań daje: x ^ 2y-xy ^ 2 = 0:. xy (x-y) = 0:. x = 0; y = 0; x = y Możemy wyeliminować x = 0; y = 0, a więc x = y jest jedynym poprawnym rozwiązaniem, które prowadzi do Czytaj więcej »

(0,0) to punkt siodłowy (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2), a (-1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) to lokalne maksima (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) i (-1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) to lokalne minima (0, pm 1 / sqrt 2) i (pm 1 / sqrt 2,0) są punktami przegięcia. Dla ogólnej funkcji F (x, y) z punktem stacjonarnym w (x_0, y_0) mamy rozszerzenie serii Taylora F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots Dla funkcji f (x) = xy e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} mamy (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + xy (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} (del f) / (del y) = xe ^ Czytaj więcej »

Mamy: f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) Krok 1 - Znajdź częściowe pochodne Obliczamy pochodną cząstkową funkcji dwóch lub więcej zmiennych, różnicując wrt jedną zmienną, podczas gdy inne zmienne są traktowane jako stałe. Zatem: Pierwsze pochodne to: f_x = y + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2x) = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_y = x + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2y) = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) Drugie pochodne (cytowane) to: f_ (xx) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yy) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ ( -x ^ 2-y ^ 2) Drugie częściowe pochodne krzyżowe to: f_ (xy) = 1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yx) = 1 + Czytaj więcej »

{: („Punkt krytyczny”, „Wniosek”), ((0,0,0), „siodło”):} Teoria identyfikacji ekstrema z = f (x, y) to: Rozwiąż jednocześnie równania krytyczne (częściowy f) / (częściowy x) = (częściowy f) / (częściowy y) = 0 (tj. f_x = f_y = 0) Oceń f_ (xx), f_ (yy) i f_ (xy) (= f_ (yx)) w każdym z tych krytycznych punktów. Stąd oszacuj Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 w każdym z tych punktów Określ naturę ekstrema; {: (Delta> 0, "Jest minimum, jeśli" f_ (xx) <0), (, "i maksimum, jeśli" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "jest punkt siodłowy") , (Delta = 0, "Konieczna jest dalsza an Czytaj więcej »

Zawsze zaczynaj od szkicu funkcji w przedziale. W przedziale [1,6] wykres wygląda następująco: Jak widać z wykresu, funkcja wzrasta od 1 do 6. Zatem nie ma lokalnego minimum lub maksimum. Jednakże ekstrema bezwzględne będzie istniało w punktach końcowych przedziału: minimum absolutne: f (1) = 11 maksimum absolutne: f (6) = 1/216 + 60 ~~ 60,005 nadzieja, która pomogła Czytaj więcej »

Max f = 1. Nie ma minimum. y = f (x) = 1-sqrtx. Wykres jest wstawiony. Reprezentuje pół parabolę, w kwadrantach Q_1 i Q_4, gdzie x> = 0. Max y jest na końcu (0, 1). Oczywiście nie ma minimum. Zauważ, że jako x do oo, y do -oo. Równanie macierzyste to (y-1) ^ 2 = x, które można podzielić na y = 1 + -sqrtx. wykres {y + sqrtx-1 = 0 [-2,5, 2,5, -1,25, 1,25]} Czytaj więcej »

Globalne minimum wynosi 2 przy x = -1 i globalne maksimum 27 przy x = 4 w przedziale [-2,4]. Ekstrema globalna może wystąpić w odstępie w jednym z dwóch miejsc: w punkcie końcowym lub w punkcie krytycznym w przedziale. Punkty końcowe, które będziemy musieli przetestować, to x = -2 i x = 4. Aby znaleźć punkty krytyczne, znajdź pochodną i ustaw ją na 0. f (x) = 2 + (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 2 + 2x + 3 Przez regułę mocy, f '(x) = 2x + 2 Ustawienie równe 0, 2x + 2 = 0 "" => "" x = -1 Istnieje punkt krytyczny przy x = -1, co oznacza, że może być również ekstremum globalnym. Sprawdź t Czytaj więcej »

F (x) ma absolutne maksimum -1 przy x = 1 f (x) = -2x ^ 2 + 4x-3 f (x) jest ciągłe na [-oo, + oo] Ponieważ f (x) jest parabolą z terminem w x ^ 2 mającym -ve współczynnik, f (x) będzie mieć jedno maksimum absolutne, gdzie f '(x) = 0 f' (x) = -4x + 4 = 0 -> x = 1 f ( 1) = -2 + 4-3 = -1 Zatem: f_max = (1, -1) Ten wynik można zobaczyć na wykresie f (x) poniżej: wykres {-2x ^ 2 + 4x-3 [-2.205 , 5,59, -3,323, 0,554]} Czytaj więcej »

X_1 = -2 to maksimum x_2 = 1/3 to minimum. Najpierw identyfikujemy punkty krytyczne przez zrównanie pierwszej pochodnej do zera: f '(x) = 6x ^ 2 + 10x -4 = 0 dając nam: x = frac (-5 + - sqrt (25 + 24)) 6 = ( -5 + - 7) / 6 x_1 = -2 i x_2 = 1/3 Teraz badamy znak drugiej pochodnej wokół punktów krytycznych: f '' (x) = 12x + 10, aby: f '' (- 2) <0, czyli x_1 = -2 to maksimum f '' (1/3)> 0, czyli x_2 = 1/3 to minimum. wykres {2x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-3 [-10, 10, -10, 10]} Czytaj więcej »

Bezwzględne minimum w domenie występuje w ok. (pi / 2, 3.7124), a absolutne maksimum w domenie występuje w przybliżeniu. (3pi / 4, 5.6544). Nie ma ekstrema lokalnego. Zanim zaczniemy, musimy przeanalizować i sprawdzić, czy sin x przyjmuje wartość 0 w dowolnym punkcie interwału. sin x wynosi zero dla wszystkich x, tak że x = npi. pi / 2 i 3pi / 4 są zarówno mniejsze niż pi i większe niż 0pi = 0; zatem sin x nie przyjmuje tutaj wartości zero. Aby to ustalić, pamiętaj, że ekstremum występuje albo gdy f '(x) = 0 (punkty krytyczne), albo w jednym z punktów końcowych. Mając to na uwadze, bierzemy pochodną powyższeg Czytaj więcej »

F (x) ma minimum przy x = 2 Zanim przejdziesz dalej, zauważ, że jest to parabola skierowana w górę, co oznacza, że bez dalszych obliczeń możemy wiedzieć, że nie będzie ona miała żadnych maksimów i pojedynczego minimum w jej wierzchołku. Wypełnienie kwadratu pokaże nam, że f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1, dając wierzchołek, a więc jedyne minimum, przy x = 2. Zobaczmy jednak, jak byłoby to zrobione z rachunkiem. Wszelkie ekstrema wystąpią albo w punkcie krytycznym, albo w punkcie końcowym danego przedziału. Ponieważ nasz podany przedział (-oo, oo) jest otwarty, możemy zignorować możliwość punktów końcowych, a więc na Czytaj więcej »

Zobaczmy. Niech podana funkcja będzie taka, że rarr y = f (x) = - x ^ 2 + 2x + 3 Teraz rozróżniamy wrt x: dy / dx = -2x + 2 Teraz pochodną drugiego rzędu jest: (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -2 Teraz pochodna drugiego rzędu jest ujemna. Dlatego funkcja ma tylko ekstrema i nie ma minimów. Zatem punkt maksima wynosi -2. Maksymalna wartość funkcji to f (-2). Mam nadzieję, że to pomoże:) Czytaj więcej »

Zobaczmy. Niech podana funkcja będzie taka, że rarr dla dowolnej wartości x w podanym zakresie. y = f (x) = - 3x ^ 2 + 30x-74: .dy / dx = -6x + 30:. (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -6 Teraz, ponieważ pochodna drugiego rzędu funkcji jest ujemna, wartość f (x) będzie maksymalna. Stąd punkt maksimów lub ekstremów można uzyskać tylko. Teraz, czy dla maksimów, czy minimów, dy / dx = 0: .- 6x + 30 = 0: .6x = 30: .x = 5 Zatem punkt maksima wynosi 5. (Odpowiedź). Tak więc maksymalna wartość lub skrajna wartość f (x) wynosi f (5). : .f (5) = - 3. (5) ^ 2 + 30.5-74: .f (5) = - 75 + 150-74: .f (5) = 150-149: .f (5) = 1 . Mam Czytaj więcej »

Funkcja nie zawiera ekstrema. Znajdź f '(x) przez regułę ilorazu. f '(x) = ((x ^ 2-1) d / dx (3x) -3xd / dx (x ^ 2-1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (3 (x ^ 2 -1) -3x (2x)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (- 3 (x ^ 2 + 1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 Znajdź punkty zwrotne funkcji. Występują one, gdy pochodna funkcji jest równa 0. f '(x) = 0, gdy licznik równa się 0. -3 (x ^ 2 + 1) = 0 x ^ 2 + 1 = 0 x ^ 2 = -1 f' (x) nigdy nie jest równe 0. Zatem funkcja nie ma ekstrema. wykres {(3x) / (x ^ 2-1) [-25,66, 25,66, -12,83, 12,83]} Czytaj więcej »

Funkcja ma minimum przy x = 3, gdzie f (3) = - 35 f (x) = 4x ^ 2-24x + 1 Pierwsza pochodna daje nam gradient linii w określonym punkcie. Jeśli jest to punkt stacjonarny, będzie to zero. f '(x) = 8x-24 = 0: .8x = 24 x = 3 Aby zobaczyć, jaki mamy punkt stacjonarny, możemy sprawdzić, czy pierwsza pochodna wzrasta lub maleje. Daje to znak drugiej pochodnej: f '' (x) = 8 Ponieważ jest to + ve, pierwsza pochodna musi wzrastać, wskazując minimum dla f (x). graph {(4x ^ 2-24x + 1) [-20, 20, -40, 40]} Tutaj f (3) = 4xx3 ^ 2- (24xx3) + 1 = -35 Czytaj więcej »

Max przy x = 1 i Min x = 0 Weź pochodną oryginalnej funkcji: f '(x) = 18x-18x ^ 2 Ustaw wartość równą 0, aby znaleźć miejsce, w którym funkcja pochodna zmieni się z dodatniej na ujemną , poinformuje nas, kiedy oryginalna funkcja będzie miała zmianę nachylenia z dodatniej na ujemną. 0 = 18x-18x ^ 2 Współczynnik 18x z równania 0 = 18x (1-x) x = 0,1 Utwórz linię i wykreśl wartości 0 i 1 Wprowadź wartości przed 0, po 0, przed 1 i po 1 Następnie wskaż, które części wykresu liniowego są dodatnie, a które ujemne. Jeśli wykres zmienia się z negatywnego na pozytywny (niski punkt na wysoki punk Czytaj więcej »

Znajdź wartości krytyczne w przedziale (gdy f '(c) = 0 lub nie istnieje). f (x) = 64-x ^ 2 f '(x) = - 2x Set f' (x) = 0. -2x = 0 x = 0 A f '(x) jest zawsze zdefiniowane. Aby znaleźć ekstremum, podłącz punkty końcowe i wartości krytyczne. Zauważ, że 0 pasuje do obu tych kryteriów. f (-8) = 0larr „absolutne minimum” f (0) = 64larr „absolutne maksimum” wykres {64-x ^ 2 [-8, 0, -2, 66]} Czytaj więcej »

F (x)> 0. Maksymalne f (x) isf (0) = 1. Oś x jest asymptotyczna dla f (x), w obu kierunkach. f (x)> 0. Używając funkcji reguły funkcji, y '= - 2xe ^ (- x ^ 2) = 0, przy x = 0. y' '= - 2e ^ (- x ^ 2) -2x (- 2x) e ^ (- x ^ 2) = - 2, przy x = 0. At x = 0, y '= 0 i y' '<0. Więc f (0) = 1 jest maksymalną wartością f (x ), Jako wymagane, . 1 w [-2,5, a], a> 1. x = 0 jest asymptotyczne dla f (x), w obu kierunkach. Jak, xto + -oo, f (x) to0 Co ciekawe, wykres y = f (x) = e ^ (- x ^ 2) jest skalowany (1 jednostka = 1 / sqrt (2 pi)) krzywa normalnego prawdopodobieństwa, dla rozkładu normalnego pra Czytaj więcej »

Absolutne minimum -512 przy x = 8 i absolutne maksimum 1/32 przy x = 1/16 Podczas znajdowania ekstrema w interwale istnieją dwie lokalizacje, które mogą być: przy wartości krytycznej lub w jednym z punktów końcowych interwału. Aby znaleźć wartości krytyczne, znajdź pochodną funkcji i ustaw ją na 0. Ponieważ f (x) = - 8x ^ 2 + x, przez regułę mocy wiemy, że f '(x) = - 16x + 1. Ustawienie tej wartości na 0 pozostawia nam jedną wartość krytyczną przy x = 1/16. Zatem nasze lokalizacje dla potencjalnych maksimów i minimów wynoszą x = -4, x = 1/16 i x = 8. Znajdź każdą z ich wartości funkcji: f (-4) = - 8 Czytaj więcej »

X = -3 lub x = -1 f = e ^ x, g = x ^ 2 + 2x + 1 f '= e ^ x, g' = 2x + 2 f '(x) = fg' + gf '= e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (2x + 2 + x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 e ^ x (x + 3) (x + 1) = 0 e ^ x = 0 lub x + 3 = 0 lub x + 1 = 0 niemożliwe, x = -3 lub x = -1 f ( -3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 0,199-> max f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0-> min Czytaj więcej »

Ekstrema wynosi x = 2; uzyskane przez rozwiązanie f '(x) = 0 f' (x) = 2x -4 = 0; Spójrz na wykres, który pomoże. wykres {x ^ 2-4x + 3 [-5, 5, -5, 5]} rozwiń dla x. Zwykle pierwszą pochodną i drugą pochodną można znaleźć, aby znaleźć ekstrema, ale w tym przypadku jest to trywialne po prostu znalezienie pierwszej pochodnej. CZEMU? powinieneś być w stanie odpowiedzieć na to pytanie Biorąc pod uwagę f (x) = x ^ 2 - 4x + 3; f '(x) = 2x -4; f '' = 2 stała Teraz ustaw f '(x) = 0 i rozwiń dla ==> x = 2 Czytaj więcej »

Uwzględnianie negatywu: f (x) = - [sin ^ 2 (ln (x ^ 2)) + cos ^ 2 (ln (x ^ 2))] Przypomnij sobie, że sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1: f ( x) = - 1 f jest funkcją stałą. Nie ma względnego ekstrema i wynosi -1 dla wszystkich wartości x między 0 a 2pi. Czytaj więcej »

Ponieważ f (x) jest wszędzie różniczkowalny, po prostu znajdź gdzie f '(x) = 0 f' (x) = sin (x) -cos (x) = 0 Rozwiąż: sin (x) = cos (x) Teraz użyj okręgu jednostki lub naszkicuj wykres obu funkcji, aby określić, gdzie są one równe: W przedziale [0,2pi] dwa rozwiązania to: x = pi / 4 (minimum) lub (5pi) / 4 (maksymalna) nadzieja to pomaga Czytaj więcej »

Minimum to f (9), a maksimum to f (-4). f '(x) = 2x-192, więc nie ma żadnych liczb krytycznych dla f w wybranym przedziale. Dlatego minimum i maksimum występują w punktach końcowych. f (-4) = 16 + 192 (4) +8 jest wyraźnie liczbą dodatnią, a f (9) = 81-192 (9) +4 jest wyraźnie ujemne. Zatem minimum to f (9), a maksimum to f (-4). Czytaj więcej »

(3,2) to minimum. (1,6) i (6,11) są maksymami. Ekstrema względna występuje, gdy f '(x) = 0. To znaczy, gdy 2x-6 = 0. tj. gdy x = 3. Aby sprawdzić, czy x = 3 jest względnym minimum lub maksimum, zauważamy, że f '' (3)> 0 i tak => x = 3 jest względnym minimum, czyli (3, f (3)) = (3 , 2) jest względnym minimum, a także absolutnym minimum, ponieważ jest to funkcja kwadratowa. Ponieważ f (1) = 6 if (6) = 11, oznacza to, że (1,6) i (6,11) są maksymami absolutnymi w przedziale [1,6]. wykres {x ^ 2-6x + 11 [-3,58, 21,73, -0,37, 12,29]} Czytaj więcej »

Względne maksimum przy (5/2, 21/4) = (2,5, 5,25) Znajdź pierwszą pochodną: f (x) '= -2x + 5 Znajdź liczbę krytyczną: f' (x) = 0; x = 5/2 Użyj drugiego testu pochodnego, aby sprawdzić, czy liczba krytyczna jest względna max. lub względna min .: f '' (x) = -2; f '' (5/2) <0; względne maks. przy x = 5/2 Znajdź wartość y maksimum: f (5/2) = - (5/2) ^ 2 + 5 (5/2) - 1 = -25/4 + 25/2 -1 = -25/4 + 50/4 - 4/4 = 21/4 względne maksimum przy (5/2, 21/4) = (2,5, 5,25) Czytaj więcej »

Funkcja ma minimum przy x = 4 wykresie {x ^ 2-8x + 12 [-10, 10, -5, 5]} Dana - y = x ^ 2-8x + 12 dy / dx = 2x-8 dy / dx = 0 => 2x-8 = 0 x = 8/2 = 4 (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 Przy x = 4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Stąd funkcja ma minimum przy x = 4 Czytaj więcej »

Dana funkcja zawsze maleje i dlatego nie ma ani wartości maksymalnej, ani minimalnej. Pochodna funkcji to y '= (2x (x ^ 2-3x) -x ^ 2 (2x-3)) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = = (anuluj (2x ^ 3) -6x ^ 2 anuluj (-2x ^ 3) + 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = (- 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 i y '<0 AA x w [4; 9] Podana funkcja funkcja zawsze maleje i dlatego nie ma ani wykresu maksymalnego, ani minimalnego {x ^ 2 / (x ^ 2-3x) +8 [-0,78, 17 , 4,795, 13,685]} Czytaj więcej »

Mamy minima przy x = 0 i punkt przegięcia przy x = 3 A maksima to punkt wysoki, do którego funkcja wzrasta, a następnie ponownie spada. Jako takie nachylenie stycznej lub wartości pochodnej w tym punkcie będzie równe zero. Ponadto, gdy styczne na lewo od maksimów będą nachylone w górę, a następnie spłaszczone, a następnie pochylone w dół, nachylenie stycznej będzie stale zmniejszać się, tj. Wartość drugiej pochodnej będzie ujemna. Minima z drugiej strony to niski punkt, do którego funkcja spada, a następnie ponownie wzrasta. Jako taka, styczna lub wartość pochodnej również w minimach będz Czytaj więcej »

Minimum: f (-2) = 1 Maksimum: f (+2) = 9 kroków: Oceń punkty końcowe danej domeny f (-2) = (- 2) ^ 3-2 (-2) +5 = -8 + 4 + 5 = kolor (czerwony) (1) f (+2) = 2 ^ 3-2 (2) +5 = 8-4 + 5 = kolor (czerwony) (9) Oceń funkcję w dowolnym punkcie krytycznym domena. Aby to zrobić, znajdź punkt (y) w domenie, gdzie f '(x) = 0 f' (x) = 3x ^ 2-2 = 0 rarrx ^ 2 = 2/3 rarr x = sqrt (2/3) lub "x = -sqrt (2/3) f (sqrt (2/3)) ~~ kolor (czerwony) (3.9) (i, nie, nie wymyśliłem tego ręcznie) f (-sqrt (2 /3))~color(red)(~6.1) Minimum {color (red) (1, 9, 3.9, 6.1)} = 1 at x = -2 Maksimum of {color (red) (1,9,3.9 , 6.1)} = 9 przy x Czytaj więcej »

Ekstremum funkcji to (4,5, -0,25) f (x) = (x-4) (x-5) można przepisać na f (x) = x ^ 2 - 5x - 4x + 20 = x ^ 2- 9x + 20. Jeśli wyprowadzisz funkcję, skończysz na tym: f '(x) = 2x - 9. Jeśli nie możesz wyprowadzić takich funkcji, sprawdź opis poniżej. Chcesz wiedzieć, gdzie f '(x) = 0, ponieważ tam gdzie gradient = 0. Umieść f' (x) = 0; 2x - 9 = 0 2x = 9 x = 4,5 Następnie wprowadź tę wartość x do pierwotnej funkcji. f (4,5) = (4,5 - 4) (4,5-5) f (4,5) = 0,5 * (-0,5) f (4,5) = -0,25 Kurs Cracha na temat wyprowadzania tych funkcji: Pomnóż wykładnik z podstawą liczba i zmniejsz wykładnik o 1. Przykład: f (x) = Czytaj więcej »

Znajdź krytyczne wartości f (x) w przedziale [0,5]. f '(x) = ((x ^ 2 + 9) d / dx [x] -xd / dx [x ^ 2 + 9]) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = (x ^ 2 + 9-2x ^ 2) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f '(x) = - (x ^ 2-9) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = 0 kiedy x = + - 3. f '(x) nigdy nie jest niezdefiniowane. Aby znaleźć ekstrema, podłącz punkty końcowe przedziału i wszelkie liczby krytyczne wewnątrz przedziału do f (x), który w tym przypadku wynosi tylko 3. f (0) = 0larr „minimum bezwzględne” f (3) = 1 / 6larr „maksimum bezwzględne” f (5) = 5/36 Sprawdź wykres: wykres {x / (x ^ 2 + 9) [-0.02, 5, -0.02, 0.2]} Czytaj więcej »

Nie ma absolutnych ekstremów, a istnienie względnych ekstremów zależy od twojej definicji względnych ekstremów. f (x) = x / (x-2) wzrasta bez wiązania jako xrarr2 z prawej strony. To znaczy: lim_ (xrarr2 ^ +) f (x) = oo Zatem funkcja nie ma absolutnego maksimum w [-5,5] f zmniejsza się bez wiązania jako xrarr2 od lewej, więc nie ma absolutnego minimum na [-5 , 5]. Teraz f '(x) = (-2) / (x-2) ^ 2 jest zawsze ujemne, więc przyjmując domenę za [-5,2) uu (2,5), funkcja maleje w [- 5,2) i na (2,5). To mówi nam, że f (-5) jest największą wartością f w pobliżu, biorąc pod uwagę tylko wartości x w domenie. Czytaj więcej »

X = + - pi / 4 dla xw [-pi / 2, pi / 2] g (x) = 2sin (2x-pi) +4 g (x) = -2sin (2x) +4 Dla ekstrema g ( x), g '(x) = 0 g' (x) = -4 cos (2x) g '(x) = 0 -4 cos (2x) = 0 cos (2x) = 0 2x = + - pi / 2 x = + -pi / 4 dla x w [-pi / 2, pi / 2] Czytaj więcej »

Ekstrema są w x = + - 1 i x = + - sqrt (1/35) h (x) = 7x ^ 5 -12x ^ 3 + x h '(x) = 35x ^ 4 -36x ^ 2 +1 Faktoring h „(x) i zrównanie go do zera, byłoby (35x ^ 2 -1) (x ^ 2-1) = 0 Punkty krytyczne wynoszą zatem + -1, + -sqrt (1/35) h '' ( x) = 140x ^ 3-72x Dla x = -1, h '' (x) = -68, stąd byłoby maksimum przy x = -1 dla x = 1, h '' (x) = 68, stąd dla x = sqrt (1/35), h '' (x) = 0,6761 - 12,1702 = - 11,4941, byłoby x minimów przy x = 1, a więc x = # -sqrt (1 / 35), h '' (x) = -0.6761 + 12.1702 = 11.4941, stąd w tym momencie byłyby minima. Czytaj więcej »

Minima to (1/4, -27 / 256), a maksima to (1,0) y = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2-x dy / dx = 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x -1 Dla punktów stacjonarnych, dy / dx = 0 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x-1 = 0 (x-1) (4x ^ 2-5x + 1) = 0 (x-1) ^ 2 (4x- 1) = 0 x = 1 lub x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 12x ^ 2-18x + 6 Testowanie x = 1 d ^ 2y / dx ^ 2 = 0 zatem możliwy poziomy punkt przegięcia (w to pytanie, nie musisz się zastanawiać, czy jest to horyzontalny punkt przegięcia) Testowanie x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 9/4> 0 Dlatego minimum i wklęsłość przy x = 1/4 Teraz, znajdując przecięcia X, niech y = 0 (x ^ 3-x) (x-3) = 0 x (x ^ 2-1) (x-3) = 0 x = 0, + - 1,3 znaj Czytaj więcej »

Odpowiedź brzmi: y '' = (- x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Oto dlaczego: y '= (((cosx + x * (- sinx) -cosx) x ^ 2- (xcosx-sinx) * 2x)) / x ^ 4 = = (- x ^ 3sinx-2x ^ 2cosx + 2xsinx) / x ^ 4 = = (- x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) / x ^ 3 y '' = ((- 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x (-sinx) + 2cosx) x ^ 3- ( -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = ((- x ^ 2cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx) / x ^ 6 = = ( -x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Czytaj więcej »

Przepisujemy f jako f (x) = 2x ^ 7 * (1-1 / x ^ 2), ale lim_ (x-> oo) f (x) = oo stąd nie ma ekstrema globalnego. Dla ekstrema lokalnego znajdujemy punkty gdzie (df) / dx = 0 f '(x) = 0 => 14x ^ 6-10x ^ 4 = 0 => 2 * x ^ 4 * (7 * x ^ 2-5 ) = 0 => x_1 = sqrt (5/7) i x_2 = -sqrt (5/7) Stąd mamy to lokalne maksimum przy x = -sqrt (5/7) to f (-sqrt (5/7)) = 100/343 * sqrt (5/7) i lokalne minimum przy x = sqrt (5/7) to f (sqrt (5/7)) = - 100/343 * sqrt (5/7) Czytaj więcej »

Ekstrema lokalne to (0,6) i (1/3158 / 27), a ekstrema globalne to + -oo Używamy (x ^ n) '= nx ^ (n-1) Znajdźmy pierwszą pochodną f' ( x) = 24x ^ 2-8x Dla ekstrema lokalnego f '(x) = 0 Więc 24x ^ 2-8x = 8x (3x-1) = 0 x = 0 i x = 1/3 Zróbmy więc wykres znaków xcolor (biały) (aaaaa) -okolor (biały) (aaaaa) 0 kolor (biały) (aaaaa) 1/3 kolor (biały) (aaaaa) + oo f '(x) kolor (biały) (aaaaa) + kolor (biały) ( aaaaa) -color (biały) (aaaaa) + f (x) kolor (biały) (aaaaaa) uarrcolor (biały) (aaaaa) darrcolor (biały) (aaaaa) uarr Więc w punkcie (0,6) mamy lokalną maksimum i at (1/3158 / 27) Mamy punkt punktu Czytaj więcej »

F (x) ma absolutne minimum przy (-1. 0) f (x) ma lokalne maksimum przy (-3, 4e ^ -3) f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) [Reguła produktu] = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) Dla ekstrema bezwzględnego lub lokalnego: f '(x) = 0 To jest gdzie: e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 Ponieważ e ^ x> 0 forsuje x w RR x ^ 2 + 4x + 3 = 0 (x + 3) ( x-1) = 0 -> x = -3 lub -1 f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) [Reguła produktu] = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) Ponownie, ponieważ e ^ x> 0, musimy tylko przetestować znak (x ^ 2 + 6x + 7) w naszych punktach ekstrema, aby określić, Czytaj więcej »

(0,0) to lokalne minimum i (4 / 3,32 / 27) to lokalne maksimum. Nie ma globalnego ekstremum. Najpierw należy pomnożyć nawiasy, aby ułatwić różnicowanie i uzyskać funkcję w postaci y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3. Teraz lokalne lub względne ekstrema lub punkty zwrotne występują, gdy pochodna f '(x) = 0, to znaczy, gdy 4x-3x ^ 2 = 0, => x (4-3x) = 0 => x = 0 lub x = 4/3. dlatego f (0) = 0 (2-0) = 0 if (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27. Ponieważ druga pochodna f '' (x) = 4-6x ma wartości f '' (0) = 4> 0 i f '' (4/3) = - 4 <0, oznacza to, że (0,0 ) jest lokalnym minimum i (4 / 3,32 / 27) jest Czytaj więcej »

Lokalny: x = -2, 0, 2 Globalny: (-2, -32), (2, 32) Aby znaleźć ekstrema, wystarczy znaleźć punkty, w których f '(x) = 0 lub jest niezdefiniowane. Więc: d / dx (x ^ 3 + 48 / x) = 0 Aby sprawić, że będzie to problem z regułami mocy, przepisamy 48 / x jako 48x ^ -1. Teraz: d / dx (x ^ 3 + 48x ^ -1) = 0 Teraz bierzemy tę pochodną. Skończymy z: 3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0 Przejście od ujemnych wykładników do ułamków ponownie: 3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0 Możemy już zobaczyć, gdzie wystąpi jedno z naszych ekstremów: f '(x ) jest niezdefiniowane przy x = 0, ponieważ 48 / x ^ 2. Dlatego jest to jeden z naszych eks Czytaj więcej »

Funkcja nie ma ekstremów globalnych. Ma lokalne maksimum f ((- 4-sqrt31) / 3) = (308 + 62sqrt31) / 27 i lokalne minimum f ((- 4 + sqrt31) / 3) = (308-62sqrt31) / 27 Dla f (x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5x, lim_ (xrarr-oo) f (x) = - oo więc f nie ma globalnego minimum. lim_ (xrarroo) f (x) = oo więc f nie ma globalnego maksimum. f '(x) = 3x ^ 2 + 8x-5 nigdy nie jest niezdefiniowane i wynosi 0 w x = (- 4 + -sqrt31) / 3 Dla liczb dalekich od 0 (zarówno dodatnich, jak i ujemnych), f' (x) jest dodatni . Dla liczb w ((-4-sqrt31) / 3, (- 4 + sqrt31) / 3), 3f '(x) jest ujemne. Znak f '(x) zmienia się z + na - gdy Czytaj więcej »

Ekstrema lokalne: x = -1/3 i x = 1 Ekstrema globalne: x = + - infty Lokalne ekstrema, zwane także maksimami i minimami, lub czasami punkty krytyczne, są po prostu tym, co brzmią: kiedy funkcja osiągnie krótki maksimum lub krótkie minimum. Nazywane są lokalnymi, ponieważ gdy szukasz punktów krytycznych, zazwyczaj zależy ci tylko na tym, co oznacza maksymalne środki w bezpośrednim sąsiedztwie punktu. Znalezienie lokalnych punktów krytycznych jest bardzo proste. Znajdź, kiedy funkcja jest niezmienna, a funkcja jest niezmienna, gdy - zgadłeś - pochodna jest równa zero. Proste zastosowanie reguły mocy d Czytaj więcej »

Aby uzyskać asymptoty poziome, musisz dwukrotnie obliczyć dwa limity. Twoja asymptota jest reprezentowana jako linia f (x) = ax + b, gdzie a = lim_ (x-> infty) f (x) / xb = lim_ (x-> infty) f (x) -ax I te same ograniczenia muszą być obliczane w ujemnej nieskończoności, aby uzyskać odpowiedni wynik. Jeśli potrzeba więcej wyjaśnień - napisz w komentarzach. Dodam przykład później. Czytaj więcej »

At (2, -9) Jest minima. Biorąc pod uwagę - y = x ^ 2-4x-5 Znajdź pierwsze dwie pochodne dy / dx = 2x-4 Maxima i Minima należy określić za pomocą drugiej pochodnej. (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 dy / dx = 0 => 2x-4 = 0 2x = 4 x = 4/2 = 2 Przy x = 2; y = 2 ^ 2-4 (2) -5 y = 4-8-5 y = 4-13 = -9 Ponieważ druga pochodna jest większa niż jeden. At (2, -9) Jest minima. Czytaj więcej »

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x ma lokalne minimum dla x = 1 i maksimum lokalne dla x = 3 Mamy: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x funkcja jest zdefiniowana we wszystkich RR jako x ^ 2 + 3> 0 AA x Możemy zidentyfikować punkty krytyczne, znajdując, gdzie pierwsza pochodna równa się zero: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1, więc punkty krytyczne to: x_1 = 1 i x_2 = 3 Ponieważ mianownik jest zawsze dodatni, znak f '(x) jest przeciwieństwem znaku licznik (x ^ 2-4x + 3) Teraz wiemy, że wielomian drugiego rzędu z dod Czytaj więcej »

Zobacz wyjaśnienie poniżej Funkcja jest f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 Pochodne cząstkowe to (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (celowo) = 2y + x-3 Niech (delf) / (delx) = 0 i (delf) / (dely) = 0 Następnie, {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 Macierz hesyjska to Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) Wyznacznikiem jest D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 Dlatego nie ma p Czytaj więcej »

Lokalne maksimum 80 (przy x = -1) i lokalne minimum -80 (przy x = 1. f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Liczby krytyczne to: -1, 0 i 1 Znak f 'zmienia się od + do - jak przekazujemy x = -1, więc f (-1) = 80 to maksimum lokalne (Ponieważ f jest nieparzyste, możemy od razu stwierdzić, że f (1) = - 80 jest względnym minimum, a f (0) nie jest ekstremum lokalnym.) Znak f 'nie zmienia się, gdy mijamy x = 0, więc f (0) nie jest ekstremum lokalnym, znak f 'zmienia się z - na +, gdy przekazujemy x = 1, więc f (1) = -80 jest lokalnym minimum. Czytaj więcej »

Lokalne maksimum 13 przy 1 i lokalne minimum 0 przy 0. Domena f to RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 w x = -1, a f' (x) nie istnieje przy x = 0. Zarówno -1, jak i 9 są w domenie f, więc są to zarówno liczby krytyczne. Pierwszy test pochodny: On (-oo, -1), f '(x)> 0 (na przykład przy x = -2 ^ 15) On (-1,0), f' (x) <0 (na przykład w x = -1 / 2 ^ 15) Dlatego f (-1) = 13 to maksimum lokalne. On (0, oo), f '(x)> 0 (użyj dowolnego dużego dodatniego x) Więc f (0) = 0 jest lokalnym minimum. Czytaj więcej »

Czy w RR ^ n nie ma lokalnych ekstremów dla f (x) Najpierw musimy wziąć pochodną f (x). dy / dx = 2d / dx [x ^ 3] -3d / dx [x ^ 2] + 7d / dx [x] -0 = 6x ^ 2-6x + 7 Więc, f '(x) = 6x ^ 2- 6x + 7 Aby rozwiązać lokalne ekstrema, musimy ustawić pochodną na 0 6x ^ 2-6x + 7 = 0 x = (6 + -sqrt (6 ^ 2-168)) / 12 Teraz, trafiliśmy na problem. Jest tak, że x inCC, więc lokalne ekstremy są złożone. Tak się dzieje, gdy zaczynamy w wyrażeniach sześciennych, że w pierwszym teście pochodnym mogą się pojawić zera złożone. W tym przypadku nie ma lokalnych ekstremów w RR ^ n dla f (x). Czytaj więcej »

Maksymalne f to f (5/2) = 69,25. Minimalna f to f (-3/2) = 11,25. d / dx (f (x)) = - 6x ^ 2 + 12x + 18 = 0, gdy x = 5/2 i -3/2 Druga pochodna wynosi -12x + 12 = 12 (1-x) <0 w x = 5/2 i> 0 w x = 3/2. Zatem f (5/2) jest maksymalną lokalną (dla skończonego x), a f (-3/2) jest minimalną wartością lokalną (dla skończonego x). Jako xto oo, na -oo i jako xto-oo, fto + oo .. Czytaj więcej »

Local max at x = -2 local min at x = 4 f (x) = 2x ^ 3 - 6x ^ 2 - 48x + 24 f '(x) = 6x ^ 2 - 12x - 48 = 6 (x ^ 2 - 2x - 8) = 6 (x-4) (x + 2) oznacza f '= 0, gdy x = -2, 4 f' '= 12 (x - 1) f' '(- 2) = -36 <0 tj. max f '' (4) = 36> 0 ie min globalne maksimum min jest napędzane przez dominujący termin x ^ 3, więc lim_ {x do pm oo} f (x) = pm oo musi wyglądać tak. Czytaj więcej »

X = {- 3,0,3} Ekstrema lokalne występują, gdy nachylenie jest równe 0, więc musimy najpierw znaleźć pochodną funkcji, ustawić ją na 0, a następnie rozwiązać dla x, aby znaleźć wszystkie x, dla których istnieją ekstrema lokalne. Korzystając z reguły wyłączania, możemy stwierdzić, że f '(x) = 8x ^ 3-72x. Teraz ustaw wartość równą 0. 8x ^ 3-72x = 0. Aby rozwiązać problem, oblicz 8x, aby uzyskać 8x (x ^ 2-9) = 0, a następnie użyj reguły różnicy dwóch kwadratów, podziel x x 2-9 na dwa czynniki, aby uzyskać 8x (x + 3) (x- 3) = 0. Teraz ustaw każdy z nich oddzielnie na 0, ponieważ całe wyrażenie Czytaj więcej »

Jedyne ekstremum to x = 0.90322 ..., minimum funkcyjne Ale musisz rozwiązać równanie sześcienne, aby się tam dostać, a odpowiedź wcale nie jest „miła” - czy jesteś pewien, że pytanie zostało poprawnie wpisane? Zawarłem również sugestie, jak podejść do odpowiedzi bez wchodzenia w zakres analizy pokazany poniżej. 1. Standardowe podejście wskazuje nam w pracochłonnym kierunku Najpierw obliczmy pochodną: f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x tak (według łańcucha i reguł ilorazu) f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 Następnie ustaw wartość równą 0 i rozwiąż dla x: 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 32x ^ 3 Czytaj więcej »

F (x) = a (x-2) (x-3) (xb) Ekstrema lokalne są posłuszne (df) / dx = a (6 + 5 b - 2 (5 + b) x + 3 x ^ 2) = 0 Teraz, jeśli ne 0, mamy x = 1/3 (5 + b pm sqrt [7 - 5 b + b ^ 2]), ale 7 - 5 b + b ^ 2 gt 0 (ma złożone korzenie), więc f ( x) ma zawsze minimalne lokalne i lokalne maksimum. Przypuśćmy, że ne 0 Czytaj więcej »

Istnieje lokalne minimum 0 na 1. (które jest również globalne) i lokalne maksimum 4 / e ^ 2 na e ^ 2. Dla f (x) = (lnx) ^ 2 / x, zauważ najpierw, że domeną f jest dodatnia liczba rzeczywista (0, oo). Następnie znajdź f '(x) = ([2 (lnx) (1 / x)] * x - (lnx) ^ 2 [1]) / x ^ 2 = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2. f 'jest niezdefiniowane przy x = 0, które nie jest w domenie f, więc nie jest to liczba krytyczna dla f. f '(x) = 0 gdzie lnx = 0 lub 2-lnx = 0 x = 1 lub x = e ^ 2 Przetestuj przedziały (0,1), (1, e ^ 2) i (e ^ 2, oo ). (W przypadku liczb testowych sugeruję e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 - przywołanie 1 = e ^ 0, Czytaj więcej »

Ekstrema f (x) wynosi: Maks. 2 przy x = 0 Min 0 przy x = 2, -2 Aby znaleźć ekstrema dowolnej funkcji, wykonaj następujące czynności: 1) Rozróżnij funkcję 2) Ustaw pochodną równe 0 3) Rozwiąż nieznaną zmienną 4) Zamień rozwiązania na f (x) (NIE pochodna) W twoim przykładzie f (x) = sqrt (4-x ^ 2): f (x) = (4 -x ^ 2) ^ (1/2) 1) Rozróżnij funkcję: Według reguły łańcuchowej **: f '(x) = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) * (- 2x ) Upraszczanie: f '(x) = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) 2) Ustaw pochodną równą 0: 0 = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1 / 2) Teraz, ponieważ jest to produkt, możesz ustawić każdą część równą 0 i rozwi Czytaj więcej »