Rachunek Różniczkowy

Funkcja nie ma lokalnego ekstrema. f '(x) = 7/2 (x + 1) ^ 6 nigdy nie jest niezdefiniowane i wynosi 0 tylko przy x = -1. Tak więc jedyną liczbą krytyczną jest -1. Ponieważ f '(x) jest dodatnie po obu stronach -1, f nie ma ani wartości minimalnej, ani maksymalnej przy -1. Czytaj więcej »

(0, -1) Ekstrema lokalne występują, gdy f '(x) = 0. Znajdź f '(x) i ustaw go na 0. f' (x) = 2x 2x = 0 x = 0 Istnieje ekstremum lokalne w (0, -1). Sprawdź wykres: wykres {x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} Czytaj więcej »

Ta funkcja nie ma lokalnego ekstrema. Na lokalnym ekstremum musimy mieć f pierwszą (x) = 0 Teraz, f pierwszą (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x + 8 Rozważmy, czy to może zniknąć. Aby tak się stało, wartość g (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x musi być równa -8. Ponieważ g pierwsza (x) = (x ^ 2 + 10x + 11) e ^ x, ekstrema g (x) znajduje się w punktach, gdzie x ^ 2 + 10x + 11 = 0, tj. Przy x = -5 pm sqrt {14}. Ponieważ odpowiednio g (x) do infty i 0 jako x do pm infty, łatwo zauważyć, że minimalna wartość będzie wynosić x = -5 + sqrt {14}. Mamy g (-5 + sqrt {14}) ~~ -1.56, tak że minimalna wartość f pierwsza (x) ~~ 6.44 - aby nigdy Czytaj więcej »

Parabola ma dokładnie jedno ekstrema, wierzchołek. Jest (-4 1/2, -19 1/4). Ponieważ {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 wszędzie funkcja jest wszędzie wklęsła i ten punkt musi być minimalny. Masz dwa korzenie do znalezienia wierzchołka paraboli: jeden, użyj rachunku do znalezienia, gdy pochodna wynosi zero; dwa, unikaj rachunku za wszelką cenę i po prostu wypełnij kwadrat. Użyjemy rachunku do praktyki. f (x) = x ^ 2 + 9x + 1, musimy wziąć pochodną tego. {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) Przez liniowość pochodnej mamy {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1). Używając reguły mocy, d / dx x ^ n = n x ^ {n-1 Czytaj więcej »

Lokalne ekstrema: x ~~ -1.15 x = 0 x ~~ 1.05 Znajdź pochodną f '(x) Set f' (x) = 0 Są to twoje wartości krytyczne i potencjalne ekstrema lokalne. Narysuj linię liczbową z tymi wartościami. Podłącz wartości w każdym przedziale; jeśli f '(x)> 0, funkcja rośnie. jeśli f '(x) <0, funkcja maleje. Gdy funkcja zmienia się z negatywnej na pozytywną i jest w tym momencie ciągła, istnieje lokalne minimum; i wzajemnie. f '(x) = [(3x ^ 2 + 4x) (3-5x) - (- 5) (x ^ 3 + 2x ^ 2)] / (3-5x) ^ 2 f' (x) = [9x ^ 2-15x ^ 3 + 12x-20x ^ 2 + 5x ^ 3 + 10x ^ 2] / (3-5x) ^ 2 f '(x) = (- 10x ^ 3-x ^ 2 + 12x) / (3 -5x) Czytaj więcej »

X = 0, -4/3 Znajdź pochodną f (x) = x ^ 2 (x + 2). Musisz użyć reguły produktu. f '(x) = x ^ 2 + (x + 2) 2x = x ^ 2 + 2x ^ 2 + 4x = 3x ^ 2 + 4x f' (x) = x (3x + 4) Ustaw f '(x) równa zero, aby znaleźć punkty krytyczne. x = 0 3x + 4 = 0 rarr x = -4 / 3 f (x) ma ekstrema lokalne przy x = 0, -4/3. OR f (x) ma ekstrema lokalne w punktach (0, 0) i (-4/3, 32/27). Czytaj więcej »

Funkcja ma 2 ekstrema: f_ {max} (- 2) = 18 i f_ {min} (2) = - 14 Mamy funkcję: f (x) = x ^ 3-12x + 2 Aby znaleźć ekstrema, obliczamy pochodną f '(x) = 3x ^ 2-12 Pierwszym warunkiem znalezienia punktów ekstremalnych jest to, że takie punkty istnieją tylko wtedy, gdy f' (x) = 0 3x ^ 2-12 = 0 3 (x ^ 2-4) = 0) 3 (x-2) (x + 2) = 0 x = 2 vv x = -2 Teraz musimy sprawdzić, czy znak pochodnej zmienia się w punktach obliczonych: wykres {x ^ 2-4 [-10, 10, - 4.96, 13.06]} Z wykresu widzimy, że f (x) ma maksimum dla x = -2 i minimum dla x = 2. Ostatnim krokiem jest obliczenie wartości f (-2) i f (2) Czytaj więcej »

X ^ 3-3x + 6 ma lokalne ekstrema przy x = -1 i x = 1 Lokalny ekstrema funkcji występuje w punktach, w których pierwsza pochodna funkcji wynosi 0, a znak pierwszych zmian pochodnych. To jest dla x, gdzie f '(x) = 0 i albo f' (x-varepsilon) <= 0 i f '(x + varepsilon)> = 0 (minimum lokalne) lub f' (x-varepsilon)> = 0 i f '(x + varepsilon) <= 0 (maksimum lokalne) Aby znaleźć ekstrema lokalne, musimy znaleźć punkty, w których f' (x) = 0. f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1) tak f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + -1 Patrząc na znak f  Czytaj więcej »

Maksima = 19 przy x = -1 Minimum = -89 atx = 5> f (x) = x ^ 3-6x ^ 2-15x + 11 Aby znaleźć ekstrema lokalne najpierw znajdź punkt krytyczny f '(x) = 3x ^ 2-12x-15 Zestaw f '(x) = 0 3x ^ 2-12x-15 = 0 3 (x ^ 2-4x-5) = 0 3 (x-5) (x + 1) = 0 x = 5 lub x = -1 są punktami krytycznymi. Musimy wykonać drugi test pochodnej f ^ ('') (x) = 6x-12 f ^ ('') (5) = 18> 0, więc f osiąga minimum przy x = 5, a minimalna wartość to f (5) = - 89 f ^ ('') (- 1) = -18 <0, więc f osiąga maksimum przy x = -1, a maksymalna wartość to f (-1) = 19 Czytaj więcej »

Dana funkcja ma punkt minimów, ale z pewnością nie ma punktu maksimów. Podana funkcja jest następująca: f (x) = (x ^ 3-4x ^ 2-3) / (8x-4) Po diffrentiation, f '(x) = (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ^ 2) W przypadku punktów krytycznych musimy ustawić, f '(x) = 0. oznacza (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ) ^ 2) = 0 oznacza x ~~ -0.440489 To jest punkt ekstrema. Aby sprawdzić, czy funkcja osiąga maksima lub minima przy tej konkretnej wartości, możemy wykonać drugi test pochodny. f '' (x) = (4x ^ 3-6x ^ 2 + 3x-16) / (2 * (2x-1) ^ 3) f '' (- 0,44)> 0 Ponieważ druga pochodna Czytaj więcej »

Jedynym krytycznym punktem tej funkcji jest x ok. -9,01844. W tym miejscu występuje lokalne minimum. Zgodnie z regułą przydziału pochodną tej funkcji jest f '(x) = ((x + 6) * 3x ^ 2- (x ^ 3-3) * 1) / ((x + 6) ^ 2) = ( 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3) / ((x + 6) ^ 2) Ta funkcja jest równa zero, jeśli i tylko wtedy, gdy 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0. Korzenie tego sześciennego obejmują negatywną irracjonalną (rzeczywistą) liczbę i dwie liczby zespolone. Prawdziwy root to x około -9,01844. Jeśli podłączysz liczbę mniejszą niż ta do f ', otrzymasz wynik ujemny i jeśli podłączysz liczbę większą niż ta do f', otrzymasz wynik po Czytaj więcej »

(0,144414, 0,05271) to maksimum lokalne (1,45035, 0,00119) i (-1,59449, -1947.21451) to lokalne wartości minimalne. . f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo Nie kwalifikuje się to jako ekstremum lokalne. 3x ^ 3-7x + 1 = 0 Aby rozwiązać pierwiastki tej funkcji sześciennej, używamy metody Newtona-Raphsona: x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) To jest iteracyjny proces, który przybliży nas do korzenia funkcji. Nie uwzględniam długiego procesu tutaj, ale po d Czytaj więcej »

F_min = f (1) = 0 f_max = f (e ^ (- 2)) ok. 0,541 f (x) = (xlnx) ^ 2 / x = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x = x ( lnx) ^ 2 Zastosowanie reguły produktu f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 = (lnx) ^ 2 + 2 lnx Dla maksimów lokalnych lub minimów: f' (x) = 0 Niech z = lnx:. z ^ 2 + 2z = 0 z (z + 2) = 0 -> z = 0 lub z = -2 Stąd dla lokalnego maksimum lub minimum: lnx = 0 lub lnx = -2: .x = 1 lub x = e ^ -2 ok. 0,135 Teraz zbadaj wykres x (lnx) ^ 2 poniżej. wykres {x (lnx) ^ 2 [-2.566, 5.23, -1.028, 2.87]} Możemy zaobserwować, że uproszczone f (x) ma lokalne minimum przy x = 1 i lokalne maksimum przy x in (0, 0 Czytaj więcej »

Zgodnie z metodą graficzną lokalne maksimum wynosi prawie 1,365 w punkcie zwrotnym (-0,555, 1,364), prawie. Krzywa ma asymptotę y = 0 larr, oś x. Przybliżenia punktu zwrotnego (-0,555, 1,364) uzyskano przez przesunięcie linii równoległych do osi, aby spotkać się w zenicie. Jak pokazano na wykresie, można udowodnić, że jako x do -oo, y do 0 i, jako x do oo, y do -oo #. graph {(1 / sqrt (x ^ 2 + e ^ x) -xe ^ x-y) (y-1.364) (x + .555 + .001y) = 0 [-10, 10, -5, 5]} Czytaj więcej »

Mamy maksima przy x = 0 Jak f (x) = - 2x ^ 2 + 9, f '(x) = - 4x Jak f' (x) = 0 dla x = 0, stąd mamy ekstrema lokalne przy x = -9 / 4 Dalej, f '' (x) = - 4, a zatem przy x = 0, mamy maksima przy x = 0 wykresie {-2x ^ 2 + 9 [-5, 5, -10, 10] } Czytaj więcej »

Nie ma ekstrema lokalnego. Ekstrema lokalne mogą wystąpić, gdy f '= 0 i gdy f' przełącza się z pozytywnego na ujemny lub odwrotnie. f (x) = x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x f '(x) = - x ^ -2 - (- 3x ^ -4) + 5x ^ 4-1 Mnożenie przez x ^ 4 / x ^ 4: f '(x) = (- x ^ 2 + 3 + 5x ^ 8-x ^ 4) / x ^ 4 = (5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 Extrema lokalne może wystąpić, gdy f '= 0. Ponieważ nie możemy rozwiązać problemu, kiedy to się dzieje algebraicznie, zróbmy wykres f ': f' (x): wykres {(5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 [-5, 5, -10,93, 55]} f 'nie ma zer. Zatem f nie ma ekstrema. Możemy sprawdzić za pomocą w Czytaj więcej »

Lokalne ekstrema to -2sqrt (6) przy x = -sqrt (3/2) i 2sqrt (6) przy x = sqrt (3/2) Ekstrema lokalne znajdują się w punktach, w których pierwsza pochodna funkcji ma wartość 0. Tak więc, aby je znaleźć, najpierw znajdziemy pochodną f '(x), a następnie rozwiązujemy dla f' (x) = 0. f '(x) = d / dx (2x + 3 / x) = (d / dx2x ) + d / dx (3 / x) = 2 - 3 / x ^ 2 Dalej, rozwiązywanie dla f '(x) = 0 2-3 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2 = 3/2 => x = + -sqrt (3/2) Tak więc, oceniając oryginalną funkcję w tych punktach, otrzymujemy -2sqrt (6) jako lokalne maksimum przy x = -sqrt (3/2) i 2sqrt (6) jako lokalne minimum w x Czytaj więcej »

Minima f: 38,827075 przy x = 4,1463151, a drugie przy ujemnym x. Wkrótce odwiedzę tutaj, z innym minimum. W efekcie f (x) = (biquadratic in x) / (x-1) ^ 2. Użycie metody ułamków cząstkowych, f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + 3 / (x-1) + 42 / (x-1) ^ 2 Ta forma ujawnia asymptotyczną parabolę y = x ^ 2 + 3x +4 i asymptota pionowa x = 1. Jako x do + -oo, f do oo. Pierwszy wykres ukazuje niską asymptotę paraboliczną. Drugi pokazuje wykres po lewej stronie asymptoty pionowej, x = 1, a trzeci po prawej stronie. Są one odpowiednio skalowane w celu ujawnienia lokalnych minimów f = 6 i 35, prawie przy użyciu numerycznej metod Czytaj więcej »

F_ (min) = f (1/4 + 2 ^ (- 5/3)) = (2 ^ (2/3) + 3 + 2 ^ (5/3)) / 4. Zauważ, że f (x) = 4x ^ 2-2x + x / (x-1/4); x w RR- {1/4}. = 4x ^ 2-2x + 1 / 4-1 / 4 + {(x-1/4) +1/4} / (x-1/4); xne1 / 4 = (2x-1/2) ^ 2-1 / 4 + {(x-1/4) / (x-1/4) + (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4 = 4 (x-1/4) ^ 2-1 / 4 + {1+ (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4:. f (x) = 4 (x-1/4) ^ 2 + 3/4 + (1/4) / (x-1/4); xne1 / 4. Teraz, dla Extrema lokalnego, f '(x) = 0, i, f' '(x)> lub <0, ”zgodnie z„ f_ (min) lub f_ (max), „resp.” f '(x) = 0 rArr 4 {2 (x-1/4)} + 0 + 1/4 {(- 1) / (x-1/4) ^ 2} = 0 ... (ast) rArr 8 (x-1/4) = 1 / {4 (x-1/4) ^ 2} lub (x-1/4) ^ Czytaj więcej »

Zakładam, że albo wystąpił błąd, albo jest to pytanie „podstępne”. 1 ^ x = 1 dla wszystkich x, więc ln1 ^ 1 = ln1 = 0 Dlatego f (x) = e ^ xln1 ^ x = e ^ x * 0 = 0 dla wszystkich x. f jest stałą. Minimum i maksimum f wynoszą 0. Czytaj więcej »

Zobaczmy. Niech funkcja będzie y. : .y = f (x) = e ^ (x ^ 2) -x ^ 2e ^ x. Teraz znajdź dy / dx i (d ^ 2y) / dx ^ 2. Teraz wykonaj kilka kroków podanych w następującym adresie URL: rarr http://socratic.org/questions/what-are-the-extrema-of-f-x-3x-2-30x-74-on-oo-oo. Mam nadzieję, że to pomoże:) Czytaj więcej »

Przy x = pi / 2 f '' (x) = - 1 mamy lokalne maksima i przy x = 3pi / 2, f '' (x) = 1 mamy lokalne minima. Maksima to najwyższy punkt, do którego funkcja wzrasta, a następnie ponownie spada. Jako takie nachylenie stycznej lub wartości pochodnej w tym punkcie będzie równe zero. Ponadto, gdy styczne na lewo od maksimów będą nachylone w górę, a następnie spłaszczone, a następnie pochylone w dół, nachylenie stycznej będzie stale zmniejszać się, tj. Wartość drugiej pochodnej będzie ujemna. Minima z drugiej strony to niski punkt, do którego funkcja spada, a następnie ponownie wzrasta. Czytaj więcej »

Blisko + -1,7. Zobacz wykres, który podaje to przybliżenie. Starałbym się podać bardziej precyzyjne wartości później. Pierwszy wykres pokazuje asymptoty x = 0, + -pi / 2 + -3 / 2pi, + -5 / 2pi, .. Zauważ, że tan x / x ^ 2 = (1 / x) (tanx / x) ma limit + -oo, jako x do 0 _ + - Drugi (ad-hoc) wykres przybliża lokalne ekstrema jako + -1,7. Poprawiłbym je później. Nie ma globalnego ekstremum. graph {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-20, 20, -10, 10]} wykres {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-2, 2, -5, 5 ]} Czytaj więcej »

X = 1,763 Weź pochodną lnx / e ^ x używając reguły ilorazu: f '(x) = ((1 / x) e ^ x-ln (x) (e ^ x)) / e ^ (2x) Wyjmij ae ^ x od góry i przesuń w dół do mianownika: f '(x) = ((1 / x) -ln (x)) / e ^ x Znajdź, gdy f' (x) = 0 Dzieje się tak tylko wtedy, gdy licznik wynosi 0: 0 = (1 / x-ln (x)) Będziesz potrzebował kalkulatora graficznego dla tego licznika. x = 1,763 Podłączenie liczby poniżej 1.763 dałoby pozytywny wynik, a podłączenie liczby powyżej 1.763 dałoby wynik negatywny. Więc to jest maksimum lokalne. Czytaj więcej »

Minima (0, 0) Maksima (-4/3, 1 5/27) Biorąc pod uwagę -y = x ^ 2 (x + 2) y = x ^ 3 + 2x ^ 2 dy / dx = 3x ^ 2 + 4x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6x + 4 dy / dx = 0 => 3x ^ 2 + 4x = 0 x (3x + 4) = 0 x = 0 3x + 4 = 0 x = -4 / 3 At x = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (0) + 4 = 4> 0 At x = 0; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Stąd funkcja ma minima przy x = 0 At x = 0; y = (0) ^ 2 (0 + 2) = 0 Minima ( 0, 0) Przy x = -4 / 3; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (-4/3) + 4 = -4 <0 Przy x = -4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) <0 Stąd funkcja ma maksima przy x = -4 / 3 Przy x = -4 / 3; y = (- 4/3) ^ 2 (-4 / 3 + 2) = 1 5/27 Maxima (-4/3, 1 Czytaj więcej »

Lokalne maksimum to 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 Lokalne minimum to 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 Aby znaleźć ekstrema lokalne, możemy użyć pierwszego testu pochodnego. Wiemy, że w ekstremie lokalnym, co najmniej pierwsza pochodna funkcji będzie równa zero. Weźmy więc pierwszą pochodną i ustawmy ją na 0 i rozwiążmy na x. f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x +13 f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 Ta równość może być łatwo rozwiązana za pomocą kwadratu formuła. W naszym przypadku a = -3, b = 6 c = 10 Kwadratowa formuła stwierdza: x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) Jeśli wrócimy nasze wartości do formuły Czytaj więcej »

MAX (0; 0) i MIN (-10 / 3,20 / 29) Obliczamy f '(x) = - x (3x + 10) / (x ^ 2-3x-5) ^ 2 f' '(x ) = 2 (3x ^ 2 + 15x ^ 2 + 25) / (x ^ 2-3x-5) ^ 3 więc f '(x) = 0 jeśli x = 0 lub x = -10 / 3 mamy dalsze f' '(0) = - 2/5 <0 i f' '(- 10/3) = 162/4205> 0 Czytaj więcej »

X = -5 f (x) = [(x-2) (x-4) ^ 3] / (x ^ 2-2) x ^ 2-2 = (x + 2) (x-2) Więc funkcja stanie się: f (x) = [(x-4) ^ 3] / (x + 2) Teraz f '(x) = d / dx [(x-4) ^ 3] / (x + 2) f' (x) = [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 Dla lokalnego ekstremum punktu f '(x) = 0 Więc [3 ( x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 = 0 [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] = 0 3 (x + 2) (x-4) ^ 2 = (x-4) ^ 3 3x + 6 = x-4 2x = -10 x = -5 Czytaj więcej »

Maksimum względne: (-1, 6) minimum względne: (3, -26) Biorąc pod uwagę: f (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + 1 Znajdź liczby krytyczne, znajdując pierwszą pochodną i ustawiając ją na równą zero: f '(x) = 3x ^ 2 -6x - 9 = 0 Współczynnik: (3x + 3) (x -3) = 0 Liczby krytyczne: x = -1, "" x = 3 Użyj drugiego testu pochodnego do dowiedzieć się, czy te krytyczne liczby są względnymi maksimum lub względnymi minimami: f '' (x) = 6x - 6 f '' (- 1) = -12 <0 => „względne maksimum przy” x = -1 f '”( 3) = 12> 0 => „względna min przy” x = 3 f (-1) = (-1) ^ 3 - 3 (-1) ^ 2 - 9 (-1) + 1 = 6 Czytaj więcej »

1 + -2sqrt (3) / 3 Wielomian jest ciągły i ma ciągłą pochodną, więc ekstrema można znaleźć przez zrównanie funkcji pochodnej do zera i rozwiązanie otrzymanego równania. Funkcja pochodna to 3x ^ 2-6x-1 i ma ona korzenie 1 + -sqrt (3) / 3. Czytaj więcej »

Punkty zwrotne (ekstrema lokalne) występują, gdy pochodna funkcji wynosi zero, tj. Gdy f '(x) = 0. to znaczy, gdy 3x ^ 2-7 = 0 => x = + - sqrt (7/3). od drugiej pochodnej f '' (x) = 6x i f '' (sqrt (7/3))> 0 i f '' (- sqrt (7/3)) <0, oznacza to, że sqrt (7 / 3) jest względnym minimum, a -sqrt (7/3) jest względnym maksimum. Odpowiednie wartości y można znaleźć, zastępując je oryginalnym równaniem. Wykres funkcji powoduje weryfikację powyższych obliczeń. wykres {x ^ 3-7x [-16.01, 16.02, -8.01, 8]} Czytaj więcej »

(0,15), (4, -17) Lokalne ekstremum lub względne minimum lub maksimum wystąpią, gdy pochodna funkcji wynosi 0. Jeśli więc znajdziemy f '(x), możemy ustawić ją na równą do 0. f '(x) = 3x ^ 2-12x Ustaw wartość równą 0. 3x ^ 2-12x = 0 x (3x-12) = 0 Ustaw każdą część równą 0. {(x = 0), ( 3x-12 = 0rarrx = 4):} Ekstremum występuje przy (0,15) i (4, -17). Spójrz na nie na wykresie: wykres {x ^ 3-6x ^ 2 + 15 [-42,66, 49,75, -21,7, 24,54]} Ekstrema lub zmiany kierunku wynoszą (0,15) i (4, - 17). Czytaj więcej »

F (x) _max = (1,37, 8,71) f (x) _min = (4,63, -8,71) f (x) = x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 f '(x) = 3x ^ 2-18x +19 f '' (x) = 6x-18 Dla lokalnych maksimów lub minimów: f '(x) = 0 Tak więc: 3x ^ 2-18x + 19 = 0 Stosowanie wzoru kwadratowego: x = (18 + -sqrt (18 ^ 2-4xx3xx19)) / 6 x = (18 + -sqrt96) / 6 x = 3 + -2 / 3sqrt6 x ~ = 1,367 lub 4,633 Aby przetestować lokalne maksimum lub minimum: f '' (1,367) <0 -> Local Maximum f '' (4,633)> 0 -> Local Minimum f (1,367) ~ = 8,71 Local Maximum f (4,633) ~ = -8,71 Minimalna lokalna Te ekstrema lokalne można zobaczyć na wykresie f (x) poni Czytaj więcej »

F (x) ma lokalne maksimum przy (0.1032, 15.0510) f (x) ma lokalne minimum przy (3.2301, -0.2362) f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) Zastosuj regułę produktu. f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) Zastosuj regułę mocy. f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 = 3x ^ 2-10x +1 dla ekstrema lokalnego f '(x) = 0 Stąd, 3x ^ 2-10x + 1 = 0 Zastosuj formułę kwadratową. x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) = (10 + -sqrt (88)) / 6 ok. 3,2301 lub 0,1032 f '' (x ) = 6x-10 dla maksimum lokalnego f '' <0 w punkcie krańcowym. Dla lokalnego mini Czytaj więcej »

X_1 = -1 to maksimum x_2 = 1 to minimum Najpierw znajdź punkty krytyczne, porównując pierwszą pochodną do zera: f '(x) = 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 = 0 Jak x! = 0 możemy pomnożyć przez x ^ 2 3x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 x ^ 2 = frac (1 + -sqrt (1 + 24)) 6 tak x ^ 2 = 1 jak drugi korzeń jest ujemny, a x = + - 1 Następnie patrzymy na znak drugiej pochodnej: f '' (x) = 6x + 6 / x ^ 3 f '' (- 1) = -12 <0 f '' (1) = 12> 0 tak, że: x_1 = -1 to maksimum x_2 = 1 to minimalny wykres {x ^ 3-x + 3 / x [-20, 20, -10, 10] } Czytaj więcej »

Lokalne maksimum ~~ -0.794 (przy x ~~ -0.563) i lokalne minima to ~~ 18.185 (przy x ~~ -3.107) i ~~ -2.081 (przy x ~~ 0.887) f '(x) = (2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 2 Liczby krytyczne to rozwiązania 2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2 -8x-12 = 0. Nie mam dokładnych rozwiązań, ale za pomocą metod numerycznych znajdziemy rzeczywiste rozwiązania w przybliżeniu: -3,107, - 0,563 i 0,887 f '' (x) = (2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^ 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 3 Zastosuj drugi test pochodny: f '' (- 3.107)> 0, tak f (-3.107) ~~ 18.185 to loka Czytaj więcej »

(1, e ^ -1) Musimy użyć reguły produktu: d / dx (uv) = u (dv) / dx + v (du) / dx:. f '(x) = xd / dx (e ^ -x) + e ^ -x d / dx (x):. f '(x) = x (-e ^ -x) + e ^ -x (1):. f '(x) = e ^ -x-xe ^ -x Przy min / max f' (x) = 0 f '(x) = 0 => e ^ -x (1-x) = 0 Teraz, e ^ x> 0 AA x w RR:. f '(x) = 0 => (1-x) = 0 => x = 1 x = 1 => f (1) = 1e ^ -1 = e ^ -1 Stąd pojedynczy punkt zwrotny w (1 , e ^ -1) wykres {xe ^ -x [-10, 10, -5, 5]} Czytaj więcej »

Ta funkcja nie ma lokalnego ekstrema. f (x) = xlnx-xe ^ x oznacza g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x Aby x było ekstremum lokalnym, g (x) musi być zero. Pokażemy teraz, że nie występuje to dla żadnej rzeczywistej wartości x. Zauważ, że g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x Zatem g ^ '(x) zniknie, jeśli e ^ x = 1 / (x (x + 2)) Jest to równanie transcendentalne, które można rozwiązać numerycznie. Ponieważ g ^ '(0) = + oo i g ^' (1) = 1-3e <0, korzeń leży między 0 a 1. A ponieważ g ^ {''} (0) <0 dla wszystkich dodatnich Czytaj więcej »

X_1 = 2.430500874043 i y_1 = -1.4602879768904 Maksymalny punkt x_2 = -1.0971675407097 i y_2 = -0.002674986072485 Minimalny punkt Określ pochodną f (x) f '(x) = ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1 -x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) / [(x-2) (x-4) ^ 3] ^ 2 Weź następnie licznik równa się zero ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1-x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) = 0 uproszczenie (x-2) (x-4) ^ 3-3x (x-2) (x-4) ^ 2-x (x-4) ^ 3 = 0 Współczynnik wspólnego terminu (x-4) ^ 2 * [ (x-2) (x-4) -3x (x-2) -x (x-4)] = 0 (x-4) ^ 2 * (x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x- x ^ 2 + 4x) = 0 (x-4) ^ 2 (-3x ^ 2 + 4x + 8) = 0 Wartości x wynoszą: x = 4 as Czytaj więcej »

Wielomiany są wszędzie zróżnicowalne, więc szukaj wartości krytycznych, po prostu znajdując rozwiązania dla f '= 0 f' = 12x ^ 2 + 6x-6 = 0 Używając algebry do rozwiązania tego prostego równania kwadratowego: x = -1 i x = 1 / 2 Określ, czy są one minimalne, czy maksymalne, podłączając do drugiej pochodnej: f '' = 24x + 6 f '' (- 1) <0, więc -1 to maksimum f '' (1/2)> 0, więc 1/2 to minimalna nadzieja, która pomogła Czytaj więcej »

F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Ta funkcja ma pionową asymptotę przy x = 2, zbliża się do 1 od góry, gdy x przechodzi do + oo (pozioma asymptota) i zbliża się do 1 od dołu, gdy x idzie do -oo. Wszystkie pochodne są również niezdefiniowane w x = 2. Jest jeden minim minimalny lokalny przy x = 0, y = 0 (Wszystkie te kłopoty z powodu pochodzenia!) Zauważ, że możesz sprawdzić moją matematykę, nawet najlepsi z nas odrzucają nieparzysty znak ujemny i jest to długie pytanie. f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Ta funkcja ma pionową asymptotę przy x = 2, ponieważ mianownik wynosi zero, gdy x = 2. Zbliża się do 1 od góry, gdy x prz Czytaj więcej »

Bb l (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) bb r (t) = (4t ^ 2 + 3, 3t ^ 3) bbr (3) = (39,81) bb r '(t ) = (8t, 9t ^ 2) To jest wektor styczny. bb r '(3) = (24, 81) Linia styczna to: bb l (lambda) = bb r (3) + lambda bb r' (3) = (39,81) + lambda (24, 81) może trochę współczynnik wektora kierunkowego: bb l (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) Czytaj więcej »

Limit wynosi 1/5. Biorąc pod uwagę lim_ (xto0) sinx / (5x) Znamy ten kolor (niebieski) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1 Możemy więc przepisać nasze dane jako: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5 Czytaj więcej »

Int ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C Podajemy: int ln (xe ^ x) / (x) dx Używając ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx Używając ln (a ^ b) = bln (a): = int (ln (x ) + xln (e)) / (x) dx Używając ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx Dzielenie ułamka (x / x = 1): = int (ln (x) / x + 1) dx Oddzielenie całek sumowanych: = int ln (x) / xdx + int dx Druga całka jest po prostu x + C, gdzie C jest dowolną stałą. Pierwsza całka, używamy podstawienia u: Niech u equiv ln (x), stąd du = 1 / x dx Używając u-podstawienia: = int udu + x + C Integracja (dowolna stała C może wchłonąć dowolną stałą p Czytaj więcej »

T = 0 i t = (- 3 + -sqrt (13)) / 2 Punkty krytyczne funkcji są wtedy, gdy pochodna funkcji jest zerowa lub niezdefiniowana. Zaczynamy od znalezienia pochodnej. Możemy to zrobić za pomocą reguły mocy: d / dt (t ^ n) = nt ^ (n-1) s '(t) = 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t Funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych, więc nie znajdziemy żadnych punktów krytycznych w ten sposób, ale możemy rozwiązać dla zer funkcji: 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t = 0 12t (t ^ 2 + 3t-1) = 0 Korzystanie z zasady zerowego współczynnika , widzimy, że t = 0 jest rozwiązaniem. Możemy rozwiązać, gdy współczynnik kwadratowy jest r& Czytaj więcej »

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C Czytaj więcej »

Sekwencja ma takie samo zachowanie, jak n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n, gdy n jest duże. Należy manipulować wyrażeniem tylko trochę, aby powyższe stwierdzenie było jasne. Podziel wszystkie terminy na n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Wszystkie te ograniczenia istnieją, gdy n-> oo, więc mamy: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, więc sekwencja zmierza do 0 Czytaj więcej »

X in {-3/2, 3/2} To pytanie polega na pytaniu, gdzie styczne linie y = 1 / x (które można uznać za nachylenie w punkcie styczności) jest równoległe do y = -4 / 9x + 7. Ponieważ dwie linie są równoległe, gdy mają takie samo nachylenie, jest to równoznaczne z pytaniem, gdzie y = 1 / x ma linie styczne o nachyleniu -4/9. Nachylenie linii stycznej do y = f (x) w (x_0, f (x_0)) jest podane przez f '(x_0). W połączeniu z powyższym oznacza to, że naszym celem jest rozwiązanie równania f '(x) = -4/9, gdzie f (x) = 1 / x. Biorąc pochodną, mamy f '(x) = d / dx1 / x = -1 / x ^ 2 Rozwiązywanie, -1 Czytaj więcej »

F '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) f (x) = sin (g (x)) f' (x) = g '(x) cos (g (x)) g (x) = cos (h (x)) g '(x) = - h' (x) sin (h (x)) h (x) = tan (x) h '(x) = sec ^ 2x g '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) g (x) = cos (tanx) f' (x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) Czytaj więcej »

Kolor (niebieski) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Jeśli: y = ln (x) <=> e ^ y = x Używając tej definicji dla dana funkcja: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x) Różnicowanie niejawnie: e ^ ydy / dx = 1 + 0-3e ^ (- 3x) Dzielenie przez: kolor (biały) (88) bb (e ^ y) dy / dx = (1-3e ^ (- 3x)) / e ^ y Z góry: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x):. dy / dx = kolor (niebieski) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Czytaj więcej »

Gottfried Wilhelm Leibniz był matematykiem i filozofem. Wiele z jego wkładów w świat matematyki miało formę filozofii i logiki, ale jest znacznie bardziej znany z odkrywania jedności między całką a obszarem wykresu. Skupił się przede wszystkim na wprowadzeniu rachunku różniczkowego do jednego systemu i wymyśleniu notacji, która jednoznacznie zdefiniowałaby rachunek różniczkowy. Odkrył także takie pojęcia, jak wyższe pochodne, i dogłębnie przeanalizował zasady produktu i łańcucha. Leibniz pracował głównie ze swoją własną wymyśloną notacją, taką jak: y = x, aby oznaczyć funkcję, w tym przypadku f (x) Czytaj więcej »

Sir Isaac Newton był już dobrze znany ze swoich teorii grawitacji i ruchu planet. Jego postępy w rachunku różniczkowym polegały na znalezieniu sposobu na ujednolicenie matematyki i fizyki ruchu planetarnego i grawitacji. Wprowadził również pojęcie reguły produktu, reguły łańcucha, szeregu Taylora i pochodnych wyższych niż pierwsza pochodna. Newton pracował głównie z notacją funkcji, taką jak: f (x), aby oznaczyć funkcję f '(x), aby oznaczyć pochodną funkcji F (x), aby oznaczyć pierwotną funkcję Tak więc, na przykład, reguła produktu wygląda w ten sposób: „Niech” h (x) = f (x) g (x). „Wówczas„ h Czytaj więcej »

Jeśli chodzi o rzeczywiste życie, nieciągłość jest równoznaczna z przesunięciem ołówka w górę o wykres funkcji wykresu. Zobacz poniżej Mając to na uwadze, istnieje kilka rodzajów nieciągłości. Nieunikniona nieciągłość Nieskończona nieciągłość skoku i nieciągłość skoku skończonego Te typy można zobaczyć na kilku stronach internetowych. na przykład, to jest skończona nieciągłość skoku. Matematycznie, ciągłość jest równoważna powiedzeniu, że: lim_ (xtox_0) f (x) istnieje i jest równe f (x_0) Czytaj więcej »

Funkcja ma nieciągłość, jeśli nie jest dobrze zdefiniowana dla konkretnej wartości (lub wartości); istnieją 3 rodzaje nieciągłości: nieskończona, punktowa i skokowa. Wiele wspólnych funkcji ma jedną lub kilka nieciągłości. Na przykład funkcja y = 1 / x nie jest dobrze zdefiniowana dla x = 0, więc mówimy, że ma ona nieciągłość dla tej wartości x. Zobacz wykres poniżej. Zauważ, że krzywa nie przecina się przy x = 0. Innymi słowy, funkcja y = 1 / x nie ma wartości y dla x = 0. Podobnie, funkcja okresowa y = tanx ma nieciągłości przy x = pi / 2, (3pi) / 2, (5pi) / 2 ... Nieskończone nieciągłości występują w funkcjach Czytaj więcej »

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C Od mianownika jest już uwzględnione, wystarczy ułamki częściowe rozwiązać dla stałych: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Zauważ, że potrzebujemy zarówno x, jak i wyrażenia stałego na lewej frakcji, ponieważ licznik jest zawsze o 1 stopień niższy niż mianownik. Moglibyśmy pomnożyć się przez mianownik po lewej stronie, ale to byłaby ogromna ilość pracy, więc zamiast tego możemy być mądrzy i użyć metody ukrywania. Nie będę szczegółowo omawiać tego procesu, ale z Czytaj więcej »

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Naszym dużym problemem w tej całce jest root, więc chcemy się go pozbyć. Możemy to zrobić, wprowadzając substytucję u = sqrt (2x-1). Pochodna jest wtedy (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Więc dzielimy przez (i pamiętajmy, że dzielenie przez odwrotność jest takie samo jak mnożenie tylko przez mianownik), aby zintegrować w odniesieniu do u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / anuluj (sqrt (2x-1)) anuluj (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Teraz wszystko, co musimy zrobić, to wyrazić x ^ 2 w kategoriach u (ponieważ nie można z Czytaj więcej »

C = 2/3 Aby f (x) było ciągłe przy x = 2, muszą być prawdziwe: lim_ (x-> 2) f (x) istnieje. f (2) istnieje (nie jest to problemem tutaj, ponieważ f (x) jest wyraźnie zdefiniowane w x = 2 Przyjrzyjmy się pierwszemu postulatowi. Wiemy, że aby istniał limit, limity lewej i prawej ręki muszą być równe. Matematycznie: lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) To również pokazuje, dlaczego interesuje nas tylko x = 2: to jedyna wartość x dla która ta funkcja jest zdefiniowana jako różne rzeczy po prawej i lewej stronie, co oznacza, że istnieje prawdopodobieństwo, że limity lewej i prawej ręki m Czytaj więcej »

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Rozróżnij obie strony. Poprzez Drugie Podstawowe Twierdzenie Rachunku po lewej stronie i reguły produktu i łańcucha po prawej stronie widzimy, że różnicowanie ujawnia, że: f (x ^ 2) * 2x = grzech (pik) + piksele (piksele) ) Letting x = 2 pokazuje, że f (4) * 4 = sin (2pi) + 2 pikos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Zintegruj termin wewnętrzny. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Oceń. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) Niech x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) ^ 3 = 12 Czytaj więcej »

(C) Zauważając, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x_0, jeśli lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L podana informacja jest skuteczna, że f jest różniczkowalny w 2 i że f '(2) = 5. Teraz, patrząc na stwierdzenia: I: Prawdziwa zmienność funkcji w punkcie oznacza jej ciągłość w tym punkcie. II: Prawda Podana informacja odpowiada definicji różniczkowania przy x = 2. III: Fałsz Pochodna funkcji niekoniecznie jest ciągła, klasycznym przykładem jest g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x) jeśli x! = 0), (0 jeśli x = 0):}, które jest różniczkowalny przy 0, ale którego pochodna ma nieciągłość Czytaj więcej »

Y = -48x - 79 Linia styczna do wykresu y = f (x) w punkcie (x_0, f (x_0)) to linia ze spadkiem f '(x_0) i przechodząca przez nią (x_0, f (x_0)) . W tym przypadku podajemy (x_0, f (x_0)) = (-2, 17). Musimy zatem obliczyć tylko f '(x_0) jako nachylenie, a następnie podłączyć to do równania punkt-nachylenie linii. Obliczając pochodną f (x) otrzymujemy f '(x) = 8x ^ 3-8x => f' (- 2) = 8 (-2) ^ 3-8 (-2) = -64 + 16 = -48 Zatem linia styczna ma nachylenie -48 i przechodzi przez (-2, 17). Zatem jego równaniem jest y - 17 = -48 (x - (-2)) => y = -48x - 79 Czytaj więcej »

F (x) = x Szukamy funkcji f: RR rarr RR tak, że rozwiązanie f (x) = f ^ (- 1) (x) Szukamy funkcji, która jest jej własną odwrotnością. Jedną z oczywistych takich funkcji jest trywialne rozwiązanie: f (x) = x Jednak bardziej dogłębna analiza problemu ma znaczną złożoność, co zostało zbadane przez Ng Wee Lenga i Ho Foo Him, opublikowane w czasopiśmie Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki . http://www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf Czytaj więcej »

3 / (4a) (x ^ 3 - a ^ 3) = (xa) (x ^ 2 + a x + a ^ 2) (x ^ 4 - a ^ 4) = (x ^ 2-a ^ 2) ( x ^ 2 + a ^ 2) = (xa) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2) => (x ^ 3-a ^ 3) / (x ^ 4-a ^ 4) = (( anuluj (xa)) (x ^ 2 + a x + a ^ 2)) / ((anuluj (xa)) (x + a) (x ^ 2 + a 2)) „Teraz wypełnij x = a:” = (3 a ^ 2) / ((2 a) (2 a ^ 2)) = 3 / (4a) „Moglibyśmy również użyć reguły l 'Hôpital:” „Uzyskanie licznika i mianownika daje:„ ”(3 x ^ 2) / (4 x ^ 3) = 3 / (4x) „Teraz wypełnij x = a:” ”= 3 / (4a) Czytaj więcej »

Zaczynamy od rozróżnienia, stosując regułę produktu i regułę łańcucha. Niech y = u ^ (1/2) i u = x. y '= 1 / (2u ^ (1/2)) i u' = 1 y '= 1 / (2 (x) ^ (1/2)) Teraz, według reguły produktu; f '(x) = 0 xx sqrt (x) + 1 / (2 (x) ^ (1/2)) xx 5/2 f' (x) = 5 / (4sqrt (x)) Szybkość zmiany w dowolny punkt funkcji jest podany przez oszacowanie x = a do pochodnej. Pytanie mówi, że tempo zmiany przy x = 3 jest dwukrotnie wyższe niż tempo zmiany przy x = c. Naszym pierwszym zadaniem jest ustalenie szybkości zmian przy x = 3. rc = 5 / (4sqrt (3)) Szybkość zmiany przy x = c wynosi wtedy 10 / (4sqrt (3)) = 5 / Czytaj więcej »

-1.11164 „To jest integralna funkcja racjonalna”. „Standardowa procedura polega na dzieleniu na częściowe ułamki”. „Najpierw szukamy zer mianownika:„ x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 => x (x - 1) (x - 4) = 0 => x = 0, 1 lub 4 „Rozdzielamy więc ułamki częściowe:” (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) => A + B + C = 0, -5 A - 4 B - C = 2 , 4A = 1 => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 "Więc mamy" (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) = (1/4) ln (| x |) - ln (| x-1 |) + (3/4) ln (| x-4 |) + C „Teraz oceniamy między 2 a 3 Czytaj więcej »

Styczne są 25x-9y + 54 = 0 i y = x + 6 Niech nachylenie stycznej będzie m. Równanie stycznej to y-6 = mx lub y = mx + 6 Teraz zobaczmy punkt przecięcia tej stycznej i danej krzywej y = (x + 2) / (x + 3). W tym przypadku y = mx + 6 otrzymujemy mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) lub (mx + 6) (x + 3) = x + 2 tj mx ^ 2 + 3 mx + 6 x + 18 = x + 2 lub mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 Powinno to dać dwie wartości x, tj. Dwa punkty przecięcia, ale styczna przecina krzywą tylko w jednym punkcie. Zatem jeśli y = mx + 6 jest styczną, powinniśmy mieć tylko jeden pierwiastek dla równania kwadratowego, co jest możliwe onli, jeśli wyró Czytaj więcej »

Ma krytyczne punkty tylko dla k> 0 Najpierw obliczmy pierwszą pochodną h (x). h ^ (prime) (x) = d / (dx) [e ^ (- x) + kx] = d / (dx) [e ^ (- x)] + d / (dx) [kx] = - e ^ (- x) + k Teraz, aby x_0 był punktem krytycznym h, musi przestrzegać warunku h ^ (prime) (x_0) = 0 lub: h ^ (prime) (x_0) = -e ^ ( -x_0) + k = 0 <=> e ^ (- x_0) = k <=> -x_0 = ln (k) <=> <=> x_0 = -ln (k) Logarytm naturalny k jest tylko zdefiniowane dla k> 0, więc h (x) ma tylko punkty krytyczne dla wartości k> 0. Czytaj więcej »

Nazwijmy długość boków N i S x (stopy), a pozostałe dwie nazwiemy y (także w stopach). Wtedy koszt ogrodzenia będzie wynosił: 2 * x * 10 USD dla N + S i 2 * y * 15 USD za E + W Wtedy równanie całkowitego kosztu ogrodzenia wyniesie: 20x + 30y = 480 Rozdzielamy y: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x Powierzchnia: A = x * y, zastępując y w równaniu otrzymujemy: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 Aby znaleźć maksimum, musimy odróżnić tę funkcję, a następnie ustawić pochodną na 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0 Które rozwiązuje dla x = 12 Zastępując we wcześniejszym równaniu y = 16-2 / 3 x Czytaj więcej »

Dy / dx = (3 sek ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Reguła łańcuchowa: (f @ g) '(x) = f' (g (x)) * g „(x) Najpierw rozróżnij funkcję zewnętrzną, pozostawiając samą w sobie, a następnie pomnóż przez pochodną funkcji wewnętrznej. y = tan sqrt (3x-1) dy / dx = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx sqrt (3x-1) = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx (3x-1 ) ^ (1/2) = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * 1/2 (3x-1) ^ (- 1/2) * d / dx (3x-1) = sec ^ 2 sqrt (3x- 1) * 1 / (2 sqrt (3x-1)) * 3 = (3 sec ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Czytaj więcej »

1 f (n) = n ^ (1 / n) oznacza log (f (n)) = 1 / n log n Teraz lim_ {n -> oo} log (f (n)) = lim_ {n -> oo} log n / n qquadqquadqquad = lim_ {n -> oo} {d / (dn) log n} / {d / (dn) n} = lim_ {n-> oo} (1 / n) / 1 = 0 Ponieważ log x jest funkcją ciągłą, mamy log (lim_ {n do oo} f (n)) = lim_ {n do oo} log (f (n)) = 0 oznacza lim_ {n do oo} f (n) = e ^ 0 = 1 Czytaj więcej »

Lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 szukamy: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x) ) Kiedy oceniamy limit, przyglądamy się zachowaniu funkcji „blisko” punktu, niekoniecznie zachowania funkcji „w” danym punkcie, a więc jako x rarr 0, w żadnym momencie nie musimy brać pod uwagę tego, co dzieje się przy x = 0, więc otrzymujemy trywialny wynik: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = lim_ (x rarr 0) 1 = 1 Dla jasności wykres funkcji do wizualizacji zachowania wokół x = 0 wykres {sin (1 / x) / sin (1 / x) [-10, 10, -5, 5]} Należy wyjaśnić, że funkcja y = sin (1 / x) / sin (1 / x) jest niezdef Czytaj więcej »

Limit nie istnieje. Gdy x zbliża się do 1, argument pi / (x-1) przyjmuje nieskończenie często wartości pi / 2 + 2pik i (3pi) / 2 + 2pik. Zatem grzech (pi / (x-1)) przyjmuje wartości -1 i 1, nieskończenie wiele razy. Wartość nie może zbliżać się do pojedynczej liczby ograniczającej. graph {sin (pi / (x-1)) [-1.796, 8.07, -1.994, 2.94]} Czytaj więcej »

„Zobacz wyjaśnienie” „Zastosuj definicję | x |:” f (x) = | x | => {(f (x) = x, x> = 0), (f (x) = -x, x <= 0):} „Teraz uzyskaj:„ {(f '(x) = 1, x> = 0), (f '(x) = -1, x <= 0):} „Widzimy więc, że w x = 0 występuje nieciągłość dla f' (x).” „Reszta jest wszędzie zróżnicowana”. Czytaj więcej »

Teleskopowa seria 1 Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n )) Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1) )) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Jest to seria zwijania (teleskopowania). Jego pierwszym terminem jest -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2. Czytaj więcej »

Drugi test pochodny oznacza, że liczba krytyczna (punkt) x = 4/7 daje lokalne minimum dla f, nie mówiąc nic o naturze f w liczbach krytycznych (punktach) x = 0,1. Jeśli f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3, to reguła produktu mówi f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) Ustawienie tego równego zero i rozwiązanie dla x oznacza, że f ma liczby krytyczne (punkty) przy x = 0,4 / 7,1. Ponowne użycie reguły produktu daje: f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) Czytaj więcej »

Sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n + 1)) Niech: S = x ^ 2 sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n-1)) Jeśli nie jest jasne, co do skutku, to najlepsza opcja rozwinąć kilka terminów sumowania: S = x ^ 2 {0a_0x ^ (- 1) + 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + ...} = {0a_0x ^ (1 ) + 1a_1x ^ 2 + 2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + ...} Następnie możemy umieścić serię z powrotem w notacji „sigma”: S = sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ ( n + 1)) Czytaj więcej »

V = 8pi jednostek objętości Zasadniczo masz problem: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Pamiętaj, objętość bryły jest określona przez: V = piint (f (x)) ^ 2 dx Tak więc nasz oryginalny Intergral odpowiada: V = piint_0 ^ 4 (x) dx Który z kolei jest równy: V = pi [x ^ 2 / (2)] między x = 0 jako nasza dolna granica i x = 4 jako nasza górna granica. Korzystając z fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego, zastępujemy nasze ograniczenia wyrażeniem zintegrowanym, odejmując dolną granicę od górnej granicy. V = pi [16 / 2-0] V = 8pi jednostek objętości Czytaj więcej »

Limit pozwala nam zbadać tendencję funkcji wokół danego punktu, nawet jeśli funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie. Spójrzmy na poniższą funkcję. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Ponieważ jego mianownik wynosi zero, gdy x = 1, f (1) jest niezdefiniowane; jednak jego limit w x = 1 istnieje i wskazuje, że wartość funkcji zbliża się do 2. lim_ {x do 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x do 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x do 1 } (x + 1) = 2 To narzędzie jest bardzo przydatne w rachunku różniczkowym, gdy nachylenie linii stycznej jest aproksymowane przez nachylenia linii siecznych z zbliżającymi się punktami przecięcia, Czytaj więcej »

Kolor (niebieski) (- (2y ^ (5/2)) / (1 + 4xy ^ (3/2))) Musimy odróżnić to domyślnie, ponieważ nie mamy funkcji w kategoriach jednej zmiennej. Kiedy rozróżniamy y, stosujemy regułę łańcuchową: d / dy * dy / dx = d / dx Jako przykład, gdybyśmy mieli: y ^ 2 Byłoby to: d / dy (y ^ 2) * dy / dx = 2ydy / dx W tym przykładzie musimy również użyć reguły produktu dla terminu xy ^ 2 Pisanie sqrt (y) jako y ^ (1/2) y ^ (1/2) + xy ^ 2 = 5 Różnicowanie: 1 / 2y ^ (-1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx + y ^ 2 = 0 1 / 2y ^ (- 1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx = -y ^ 2 Factor out dy / dx: dy / dx (1 / 2y ^ (- 1/2) + 2xy) = - y Czytaj więcej »

V = 685 / 32pi jednostek sześciennych Najpierw naszkicuj wykresy. y_1 = x ^ 2-x y_2 = 3-x ^ 2 x-przecięcie y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 I mamy to {(x = 0), (x = 1):} Więc przecięcia są (0,0) i (1,0) Uzyskaj wierzchołek: y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 Więc wierzchołek jest na (1/2, -1 / 4) Powtórz poprzedni: y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 I mamy to {(x = sqrt (3) ), (x = -sqrt (3)):} Więc przecinki są (sqrt (3), 0) i (-sqrt (3), 0) y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 Więc wierzchołek jest na (0,3) Wynik: Jak uzyskać głośność? Użyjemy metody dysku! Ta metoda jest po prostu taka: „To Czytaj więcej »

124,5 int_1 ^ 4 (2x ^ 3-2x + 4) dx = [((2x ^ 4) / 4) - ((2x ^ 2) / 2) + 4x] Z górną granicą x = 4 i dolną granicą x = 1 Zastosuj swoje ograniczenia w zintegrowanym wyrażeniu, tj. Odejmij swój dolny limit od górnego limitu. = (128-16-16) - ((1/2) -1 + 4) = 128-3 (1/2) = 124,5 Czytaj więcej »

Punkt przegięcia to: ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) „AND” ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) 1 - Najpierw musimy znaleźć drugą pochodną naszej funkcji. 2 - Po drugie, utożsamiamy tę pochodną ((d ^ 2y) / (dx ^ 2)) do zera y = sinx + cosx => (dy) / (dx) = cosx-sinx => (d ^ 2y) / ( dx ^ 2) = - sinx-cosx Dalej, -sinx-cosx = 0 => sinx + cosx = 0 Teraz wyrażymy to w postaci Rcos (x + lamda) Gdzie lambda jest tylko kątem ostrym, a R jest dodatnia liczba całkowita do ustalenia. Podobnie jak ten sinx + cosx = Rcos (x + lambda) => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda Przez zrównanie współczynników sinx i cosx po obu stron Czytaj więcej »

Int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c Aby ten problem miał sens 4-9x ^ 2> = 0, więc -2/3 <= x <= 2/3. Dlatego możemy wybrać 0 <= u <= pi takie, że x = 2 / 3cosu. Używając tego, możemy zastąpić zmienną x w całce używając dx = -2 / 3sinudu: int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u )) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu tutaj używamy, że 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u i że dla 0 <= u <= pi sinu> = 0. Teraz używamy integracji przez części, aby znaleźć intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinuc Czytaj więcej »

Najpierw musimy manipulować wyrażeniem, aby umieścić je w wygodniejszej formie. Zajmijmy się wyrażeniem (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (((4-h ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h- 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) Biorąc teraz ograniczenia, gdy h-> 0 mamy: lim_ (h-> 0 ) (- h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) = (-4) / 16 = -1 / 4 Czytaj więcej »

1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) +1) / (tanx-sqrt (2tanx) + 1) | + C Zaczynamy od podstawienia u przez u = sqrt (tanx) Pochodna u to: (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)), więc dzielimy przez aby zintegrować się z u (i pamiętaj, dzielenie przez ułamek jest takie samo jak mnożenie przez jego odwrotność): int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx) ) / s ^ 2x du = = int 2 / s ^ 2x du Ponieważ nie możemy zintegrować xw odniesieniu do u, używamy następującej tożsamości: sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 Daje to: int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + Czytaj więcej »

Najprostszym sposobem myślenia o podwójnej całce jest objętość pod powierzchnią w przestrzeni trójwymiarowej. Jest to analogiczne do myślenia o normalnej całce jako o obszarze pod krzywą. Jeśli z = f (x, y) to int_y int_x (z) dx dy będzie objętością pod tymi punktami, z, dla domen określonych przez y i x. Czytaj więcej »

- (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 sqrt ((x + 1) / (2x-1)) f (x) = u ^ n f '(x) = n xx ( du) / dx xxu ^ (n-1) W tym przypadku: sqrt ((x + 1) / (2x-1)) = ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2): n = 1/2, u = (x + 1) / (2x-1) d / dx = 1/2 xx (1xx (2x-1) - 2xx (x + 1)) / (2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1 / 2-1) = 1 / 2xx (-3) / ((2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x- 1)) ^ (1 / 2-1) = - (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2) Czytaj więcej »

Krok pierwszy polega na przepisaniu funkcji jako wykładnika wymiernego f (x) = sin (x) ^ {1/2} Po wyrażeniu się w tej formie można go rozróżnić za pomocą reguły łańcuchowej: W twoim przypadku: u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) Następnie, 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x), który jest twoim odpowiedź Czytaj więcej »

(dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Zakładam, że chcesz znaleźć (dy) / (dx). W tym celu najpierw potrzebujemy wyrażenia y dla x. Zauważamy, że ten problem ma różne rozwiązania, ponieważ tan (x) jest funkcją okresową, tan (x-y) = x będzie mieć wiele rozwiązań. Jednakże, ponieważ znamy okres funkcji stycznej (pi), możemy wykonać następujące czynności: xy = tan ^ (- 1) x + npi, gdzie tan ^ (- 1) jest funkcją odwrotną stycznej dającej wartości między Dodano -pi / 2 i pi / 2 oraz współczynnik npi, aby uwzględnić okresowość stycznej. To daje nam y = x-tan ^ (- 1) x-npi, dlatego (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x, zau Czytaj więcej »

Y = -2x + pi / 2 Aby znaleźć równanie linii stycznej do krzywej y = cos (2x) przy x = pi / 4, zacznij od przyjęcia pochodnej y (użyj reguły łańcucha). y '= - 2sin (2x) Teraz podłącz swoją wartość dla x do y': -2sin (2 * pi / 4) = - 2 Jest to nachylenie linii stycznej przy x = pi / 4. Aby znaleźć równanie linii stycznej, potrzebujemy wartości y. Po prostu podłącz wartość x do oryginalnego równania dla y. y = cos (2 * pi / 4) y = 0 Teraz użyj formy nachylenia punktu, aby znaleźć równanie linii stycznej: y-y_0 = m (x-x_0) Gdzie y_0 = 0, m = -2 i x_0 = pi / 4. To daje nam: y = -2 (x-pi / 4) Uproszcz Czytaj więcej »

Określona całka w przedziale [a, b] f jest początkowo zdefiniowana dla funkcji f, która zawiera [a, b] w swojej domenie. To znaczy: zaczynamy od funkcji f, która jest zdefiniowana dla wszystkich xw [a, b] Nieprawidłowe całki rozszerzają początkową definicję, pozwalając, aby a, lub b, lub oba, znajdowały się poza domeną f (ale na „krawędzi” więc możemy szukać limitów) lub przedziału, w którym brakuje lewego i / lub prawego punktu końcowego (nieskończone interwały). Przykłady: int_0 ^ 1 lnx dx kolor (biały) „sssssssssss” integrand nie zdefiniowano w 0 int_5 ^ 7 1 / (x ^ 2-25) dx kolor (biały) „ssssss” int Czytaj więcej »

(dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Odnoszę się do http://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-derivative-of-tan-xyx -1? AnswerSuccess = 1, gdzie stwierdziliśmy, że podano x = tan (xu); (du) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) (dla wygody zastąpiłem y przez u). Oznacza to, że jeśli zastąpimy cię przez -y, znajdziemy to dla x = tan (x + y); - (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2), więc (dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2). Czytaj więcej »

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C Mamy int root3x / (root3x-1) dx Zastępczy u = (root3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) du = int (3x) / (root3x-1) du = int (3 (u + 1) ^ 3) / udu = 3int (u ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1) / udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 + 9u + 3ln (abs (u)) + C Zastąp ponownie u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C Czytaj więcej »

Dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Dla danej funkcji y = f (x) = uv gdzie u i v są obiema funkcjami x otrzymujemy: dy / dx = u'v + v'u u = sin (cx) u '= c cos (cx) v = sin ^ c (x) v '= c cos (x) sin ^ (c-1) (x) dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Czytaj więcej »

Kiedy cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) = 0 Otrzymujemy f (x, y) = sin (x) cos (y) + e ^ xtan ( y) Punkty krytyczne występują, gdy (delf (x, y)) / (delx) = 0 i (delf (x, y)) / (dely) = 0 (delf (x, y)) / (delx) = cos ( x) cos (y) + e ^ xtan (y) (delf (x, y)) / (dely) = - sin (x) sin (y) + e ^ xsec ^ 2 (y) sin (y) sin ( x) + cos (y) cos (x) + e ^ xtan (y) -e ^ xsec ^ 2 (y) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) -sec ^ 2 (y)) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) - (1 + tan ^ 2 (y))) = cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) Nie ma prawdziwego sposobu na znalezienie rozwiązania, ale punkty krytyczne występują, gdy cos (xy) + e ^ x Czytaj więcej »

F (x) = lnx + 1 Podzielimy nierówność na 2 części: f (x) -1> = lnx -> (1) f (x / e) <= lnx-> (2) Spójrzmy na (1) : Zmieniamy, aby uzyskać f (x)> = lnx + 1 Spójrzmy na (2): Zakładamy y = x / e i x = ye. Nadal spełniamy warunek y in (0, + oo) .f (x / e) <= lnx f (y) <= lnye f (y) <= lny + lne f (y) <= lny + 1 y inx więc f (y) = f (x). Z 2 wyników, f (x) = lnx + 1 Czytaj więcej »

Reguła mocy: jeśli f (x) = x ^ n, to f '(x) = nx ^ (n-1) Suma: jeśli f (x) = g (x) + h (x), a następnie f' (x) = g '(x) + h' (x) Reguła produktu: jeśli f (x) = g (x) h (x) to f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Reguła przydziału: jeśli f (x) = g (x) / (h (x)) to f' (x) = (g '(x) h (x) - g (x) h' ( x)) / (h (x)) ^ 2 Reguła łańcucha: jeśli f (x) = h (g (x)) to f '(x) = h' (g (x)) g '(x) Lub: dy / dx = dy / (du) * (du) / dx Aby uzyskać więcej informacji: http://socratic.org/calculus/basic-differentiation-rules/summary-of-differentiation-rules Czytaj więcej »

E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. .. Przypadek taylorowej serii rozszerzonej o 0 nazywa się serią Maclaurina. Ogólny wzór dla serii Maclaurina to: f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) X ^ n Aby opracować serię dla naszej funkcji, możemy zacząć od funkcji dla e ^ x, a następnie użyj tego, aby znaleźć formułę dla e ^ (- 2x). Aby skonstruować szereg Maclaurina, musimy obliczyć n-tą pochodną e ^ x. Jeśli weźmiemy kilka pochodnych, możemy dość szybko zobaczyć wzór: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f' '(x) = e ^ x W rzeczywistości n-ta pochod Czytaj więcej »

Nośność gatunku to maksymalna populacja tego gatunku, którą środowisko może utrzymać w nieskończoność, biorąc pod uwagę dostępne zasoby. Działa jako górna granica funkcji wzrostu populacji. Na wykresie, przy założeniu, że funkcja wzrostu populacji jest przedstawiona z niezależną zmienną (zwykle t w przypadkach wzrostu populacji) na osi poziomej i zmienną zależną (populacja, w tym przypadku f (x)) na osi pionowej , nośność będzie poziomą asymptotą. W normalnym przebiegu zdarzeń, z wyjątkiem ekstremalnych okoliczności, populacja nie przekroczy zdolności przewozowej. Jednak niektóre ekstremalne okoliczności (ta Czytaj więcej »

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Najpierw podstawiamy: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Wykonaj drugie podstawienie: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Podział za pomocą ułamków częściowych: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Tera Czytaj więcej »

W podręczniku używam punktu krytycznego (Stewart Calculus) f = liczba krytyczna dla f = wartość x (zmienna niezależna), czyli 1) w domenie f, gdzie f 'jest 0 lub nie istnieje. (Wartości x, które spełniają warunki twierdzenia Fermata.) Punkt przegięcia dla f jest punktem na wykresie (ma zarówno współrzędne xiy), przy którym zmienia się wklęsłość. (Inni ludzie wydają się używać innej terminologii. Nie wiem, czy jedli się mylili, czy po prostu mają inną terminologię. Ale podręczniki, których używałem w Stanach Zjednoczonych od początku lat 80., wszystkie używały tej definicji.) Czytaj więcej »